2024-2025学年天津四十七中高二（上）第一次段考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年天津四十七中高二（上）第一次段考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.向量，若，则的值为( )
A. B. C. D.
2.过点且平行于直线的直线方程为( )
A. B. C. D.
3.若点到直线的距离是，则实数为( )
A. B. C. 或 D. 或
4.已知直线与直线互相垂直，垂足为，则等于( )
A. B. C. D.
5.已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，点，分别是，的中点，则的值为( )
A. B. C. D.
6.下列命题中正确的是( )
A. 点关于平面对称的点的坐标是
B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为
D. 已知为空间任意一点，，，，四点共面，且任意三点不共线，若，则
7.若圆的弦被点平分，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
8.已知圆：与圆：外切，，为正实数，则的最小值为( )
A. B. C. D.
9.若直线与曲线有公共点，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.若向量，，，且满足条件，则 ．
11.过两条直线：，：的交点，且与直线垂直的直线的方程为______．
12.若圆心在轴上、半径为的圆位于轴左侧，且与直线相切，则圆的方程是______．
13.已知直线：恒过点，过点作直线与圆：相交于，两点，则的最小值为______．
14.若圆：关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是 ．
15.若圆上至少有三个不同点到直线：的距离为，则直线的斜率的取值范围为______．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，已知．
求的值；
的值．
17.本小题分
求分别满足下列条件的直线的方程．
斜率是，且与两坐标轴围成的三角形的面积是
经过两点，
经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．
18.本小题分
已知圆的圆心为坐标原点，且与直线相切．
求圆的标准方程；
若直线过点，直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，，且，，是棱的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值；
Ⅲ在线段上不含端点是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，说明理由．
20.本小题分
已知圆过点且与圆：关于直线对称，作斜率为的直线与圆交于，两点，且点在直线的左上方．
求圆的方程．
证明：的内切圆的圆心在定直线上．
若，求的面积．
参考答案
1.
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9.
10.
11.
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13.
14.
15.
16.解：由，，可得，
所以，
因为，
，
，，
所以
．
17.解：设直线的方程为，
令，得，
，．
直线的方程为．
当时，直线的方程是，即 ，
当时，直线的方程是；
设在轴、轴上的截距分别为、．
当，时，的方程为；
直线过，
，
又，
，解得或．
当时，直线过原点且过，
的方程为
综上所述，直线的方程为或或

18.解：原点到直线的距离为，
圆的标准方程为；
当直线的斜率不存在时，直线方程为，代入，
得，即直线被圆所截得的弦长为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，即．
直线被圆所截得的弦长为，圆的半径为，
则圆心到直线的距离，解得．
直线的方程为，即．
综上，直线的方程为或．
19.解：Ⅰ证明：连接交于点，并连接，
四边形为平行四边形，为的中点，
又为的中点，
在中，为中位线，，
面，面，面．
Ⅱ证明：在四棱锥中，底面，
底面为平行四边形，，且，，是棱的中点，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，，
则，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，
则直线与平面所成角的正弦值为：．
Ⅲ假设在线段上不含端点存在一点，使得二面角的余弦值为，
设，，
，则，
解得，，，，
，，
设平面的法向量，
则，取，得，
二面角的余弦值为，
，
解得或．
在线段上不含端点存在一点，使得二面角的余弦值为，
且或．
20.解：设圆心，由题意得到圆坐标为，
又圆与圆关于直线对称，
，分
又直线的斜率为，
直线的斜率为，即，
联立解得：，
圆心坐标为，又在圆上，
半径，
圆的方程为分
设直线的方程为：，，，
由，消去得：，
，，
，
即，
的平分线为垂直于轴的直线，又，
则的内切圆的圆心在直线上；分
若，结合可知：，，分
直线的方程为：，
圆心到直线的距离，
，分
同理可得：，分
分
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