2024-2025学年天津五十五中高二（上）学情调研数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年天津五十五中高二（上）学情调研数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，如果，那么等于( )
A. B. C. D.
3.已知直线：，：则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.图中的直线的斜率分别为，则有( )
A. B. C. D.
5.如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于( )
A.
B.
C.
D.
6.已知圆与圆，则两圆的公共弦所在直线方程为( )
A. B. C. D.
7.过点且与圆相切的直线方程为( )
A. B.
C. 或 D. 或
8.如图，棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则下列结论中错误的是( )
A. 直线与直线的距离为
B. 直线与平面的距离为
C. 直线与底面所成的角为
D. 平面与底面夹角的余弦值为
9.过直线上的点作圆：的两条切线，，当直线，关于直线对称时，点的坐标为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.过直线和的交点，倾斜角为的直线方程为______．
11.直线被圆所截得的弦长为______．
12.若直线：与：平行，则实数的值为______；与间的距离为______．
13.下列说法正确的是______．
直线必过定点；
直线在轴上的截距为；
直线的倾斜角为；
过点且垂直于直线的直线方程为．
14.设直线和圆相交于两点若，则实数 ．
15.已知圆以点为圆心，且与直线相切，则满足以上条件的圆的半径最大时，圆的标准方程为______．
三、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知的三个顶点坐标分别是，，．
求边所在的直线的一般式方程；
求边上的中线所在直线的一般式方程；
求边上的高所在直线的一般式方程．
17.本小题分
已知以点为圆心的圆与直线：相切．过点的动直线与圆相交于，两点．
求圆的方程；
当时，求直线的方程．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，，平面，且，点在棱上不包括端点，点为中点．
若，求证：直线平面；
求平面与平面的夹角的余弦值；
是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
19.本小题分
已知圆与直线相切于点，圆心在轴上．
求圆的标准方程；
若直线：与圆交于，两点，求弦的最短长度．
过点且不与轴重合的直线与圆相交于，两点，为坐标原点，直线，分别与直线相交于，两点，记，的面积为，，求的最大值．
参考答案
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16.解：由，，
由截距式方程可得，
即，
所以边所在的直线的一般式方程：；
由，，，
得的中点坐标为，所在的直线的斜率，
所以中线所在直线的方程：，即，
所以中线所在直线的一般式方程为；
由，，得，
所以，
所以边上的高所在的直线方程为：，
即，
所以边上的高所在直线的一般式方程为．
17.解：设圆的半径为 因为圆与直线：相切，
所以，
所以圆的方程为；
当直线与轴垂直时，，满足题意；
当直线与轴不垂直时，
设直线的方程为，即，
由于，于是，
解得，
此时直线的方程为，
综上，直线的方程为或
18.证明：取的一个靠近点的三等分点，连接，，
因为，所以且，
又因为，且，点为中点，
所以且，则四边形为平行四边形，
所以，平面，平面，所以直线平面．
解：如图所示，以点为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
又为的中点，则，
所以，，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，
由题意可知，平面的法向量为，
，，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
存在，．
假设存在点不包括端点，设，即，，
由得，，，且平面的法向量，
，，则，
，
因为与平面所成角的正弦值为，
则，，
整理得：，解得：，
故存在点，使与平面所成角的正弦值为，此时．
19.解：圆心在轴上，
可设圆的方程为，
圆与直线相切于点，
，解得，，
故圆的方程为．
直线：，
，令，解得，
直线过定点，
圆的方程为．
则圆心，半径，
，故定点在圆的内部，
当直线与直线垂直时，弦取得最小值，
，，
，
弦的最短长度为．
过点且不与轴重合的直线与圆相交于，两点，为坐标原点，
，
设直线的斜率为，
则直线的方程为，
联立，化简整理可得，，解得或，
故点的坐标为，
直线的斜率为，
同理可得，点的坐标为，
直线，分别与直线相交于，两点，
，，
，
，同理可得，，
，当且仅当，即时，等号成立，
故的最大值为．
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