2024-2025学年度第一学期10月份阶段检测
高三数学
一.单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,则
A. B. C. D.
2.已知函数的零点分别为,则的大小顺序为()
A. B. C. D.
3.已知命题;命题,则
A.和都是真命题 B.和都是真命题
C.和都是真命题 D.和都是真命题
4.已知关于的不等式的解集为,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.是各项均为实数的等比数列,则“”是“数列为递增数列”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.函数的定义域为,且在单调递减,,若函数的图象关于直线对称,则下列结论不正确的是( )
A.的图象关于直线对称 B.为偶函数
C.恒成立 D.的解集为
7.设,则下列大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
8.Peukert于1898年提出蓄电池的容量(单位:),放电时间(单位:)与放电电流(单位:A)之间关系的经验公式:,其中为Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数,在电池容量不变的条件下,当放电电流时,放电时间;当放电电流时,放电时间.若计算时取,则该蓄电池的Peukert常数大约为( )
A.1.5 B.1.67 C.1.75 D.2.4
二.多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列导数运算正确的是( )
A. B. C. D.
10.已知函数的部分图象如图,则关于函数的描述正确的是( )
A.关于对称 B.关于点对称
C.在区间上单调递增 D.在区间上的最大值为3
11.设函数,则下列说法正确的是( )
A.是奇函数 B.在上是单调函数
C.的最小值为1 D.当时,
三.填空题:本大题共3小题,每题5分,共15分。
12.已知,则________.
13.求数列的前n项和_______.
14.已知函数和有相同的最小值,则________.
四.解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(13分)化简:(1)
(2)已知,求的值.
16.(15分)已知函数.
(1)若关于的不等式的解集为,求的解集;
(2)若,求的解集;
(3)若,对于恒成立,求实数的取值范围.
17.(15分)记的内角所对的边分别是,且满足.
(1)证明:;
(2)若为锐角,点为边上一点,平分,且,
,求的值.
18.(17分)已知为偶函数.
(1)求的解析式;
(2)求证:时,有且只有一个根,且;
(3)若恒成立,求的值.
19.(17分)设函数.
(1)若曲线在点处的切线方程为,求的值;
(2)当时恒成立,求实数的取值范围;
(3)证明:.数学参考答案
一．选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A B C D A A D C ACD AD ABD
7
二．填空题：12. 13. Sn 2
n 1 n 2 14. a 1 .
25
三．解答题：
0 0
0 0 3sin 20
0 cos 200 sin 700 cos10 2sin10
15.⑴= tan 70 cos10 1
cos 200 cos700 cos 200
2
2 1
3
1 3
⑵因为 tan log2 3 log3 4
3 64 0.125 3 log2 3 2log3 2
43 3
2
2 4 4 2 .
2sin π cos 2π 2sin cos 2 tan 2 2 4
所以 2 3π sin
2 cos2 tan2 1 4 1 3 .
sin sin2
2
16.⑴由题意可得a 0且b 2a.
则 f x 0 x 2 x 1 0,解得1 x 2,即解集为 1,2 . 4分
⑵当 a 1时，由 f x 0得 x b x 1 0.
①当b 1时，不等式的解集为 x | x b或x 1 ; 6分.
② 当b 1时，不等式的解集为 x 1 ; 8分.
③当b 1时，不等式的解集为 x | x 1或x b . 10分
x 1,2 , f x b 4 x2⑶当 恒成立，即 b 1 x 4 0恒成立，即
4
x 1,2 时，b x 1恒成立.
x
4 4
x 1 2 x 1 3,当x 2时等号成立，
x x
b 3. 15分.
sin A b c a b c
17. （1）因为 ，由正弦定理得 ，即a2 bc c2 ，
sinC a c a
由余弦定理 a2 b2 c2 2bccos A，所以bc c2 b2 c2 2bccos A，即 c b 2ccos A，
1
{#{QQABAQaEogAAAoBAAAgCEwU4CgMQkAEACQgGQEAAMAIASQFABCA=}#}
由正弦定理得 sinC sin B 2sinCcos A，又在 ABC 中， B π A C ，
所以 sinC sin A C 2sinC cos A sin AcosC sinC cos A 2sinC cos A
sin AcosC sinC cos A sin A C ， 所以C A C，即 A 2C . 7分.
（2）
设 BAC 2 ，因为 AM平分 BAC ，且 AM 3，则 BAM CAM ，
由（1）知， C ，则 AMB ACM CAM 2 ，所以MC AM 3 ，
1 1 2
因为 S 2 ，所以 S AMC AM MC sin AMC 3 sin AMC 2AMC ，
2 2
2 2
则 sin AMC ，又 sin AMC sin AMB，
3
2 2 1 3 6
则 sin 2 ，则 cos 2 ， sin ，cos ，
3 3 3 3
3 b
MC AC
在 AMC中，由正弦定理得 ，则 3 2 2 ，得b 2 2 ， 15分.
sin sin 2
3 3
x 3 x x 2 x
18.（1）由 f (x) g(x) xe x e ， f (x) g(x) x[e (m x )e ]可得
xex x3e x x[ex (m x2 )e x ] 1
f (x) xex mxe x ，
2 2
1 1
由于 f (x)为偶函数，故 f (x) f x xex mxe x xe x mxex ，
2 2
1
进而可得 xex xe x 1 m 0，
2
1
由于 xex xe x 不恒为 0，故1 m 0，解得m 2，
2
故 f (x) xex xe x 5分.
x
（2）令 f (x) g(x) x[e (2 x
2)e x ] 0，
当 x 0时，则 e2x 2 x2，
h x =e2x 2x令 x2 2，则h x 2e 2x，
2
{#{QQABAQaEogAAAoBAAAgCEwU4CgMQkAEACQgGQEAAMAIASQFABCA=}#}
令m x h 2xx e2x 2x, x 0 则m x 4e 2 0，
故m x 在(0, +∞)单调递增，故m x h x h 0 1，故 ( )在(0,+∞)单调递增，
1 1
又 h e 2 0,h 0 1 0，
2 4
1
故存在唯一的 x0 ，且0 x0 ，得证. 10分.
2
（3） g(x) xe x x3e x
由 g(x) ax可得当 x 0时，a e x x2e x ，
当 x 0时， a e x x2e x ，
p x =e x x2e x令 ，
2
则 p x = e x 2xe x x2e x x2 2x 1 e x x 1 e x 0，
故 p x 在 ,0 单调递减，在(0, +∞)单调递减，
故 x 0时， p x p 0 1，此时 a p x ，故a 1，
当 x 0时， p x p 0 1，此时 a p x ，故a 1，
要使对任意的 x R，都有 g(x) ax成立，故1 a 1，故a 1 . 17分.
19.（1） f (x) ln x 1 2ax，由题意曲线 y f (x)在点 (1,0)处的切线方程为 x y 1 0，
则 f (1) 1 2a 1，解得 a 1； 2分.
（2） f (x) x ln x a x2 1 ， x 1，
1f (x) ln x 1 2ax，令u(x) ln x 1 2ax（ x 1），则 u (x) 2a，
x
①当 2a 0，即 a 0时，u (x) 0，u(x) 即 f (x)是 1, 上的增函数，因此
f (x) f (1) 1 2a 0， f (x)是增函数，所以 f (x) f (1) 0，不合题意，舍去；
1
②当 2a 1即 a
时， u (x) 0，u(x) 即 f (x)是 1, 上的减函数，所以
2
f (x) f (1) 1 2a 0，所以 f (x)是 1, 上的减函数，从而 f (x) f (1) 0恒成立，
1 1
③当0 2a 1即0 a 时， 1，
2 2a
3
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1 1
x (1, )时，u (x) 0，u(x) 在 1, 递增，
2a 2a
1 1
x ( , )时，u (x) 0，u(x) 在 , 递减，
2a 2a
1
又u(1) 1 2a 0，所以 x (1, )时，u(x) 0恒成立，即 f (x) 0恒成立，此时 f (x) 在
2a
1
(1, )上递增，因此 f (x) f (1) 0，与题意不合，舍去.
2a
1
综上 a ． 9分.
2
1 2 2x ln x 2 x ln x
（3）由（2）知 x 1时， x ln x (x 1) ，即 1，从而 ，
2 x2
1
1 x 1
ln x 1 1 2 2
所以 ，又 2( x x 1)，
x 1 x x 2 x x x 1
ln x
所以 2( x x 1) ，
x 1
此不等式中分别令 x 2,3, ,n得
ln 2 ln 3 ln n
2( 2 1)， 2( 3 2)， ， 2( n n 1) ，
1 2 n 1
n ln k *
将这 n 1个不等式相加得 2 n 2 n N 17分.
k 2 k 1
4
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