2024-2025学年天津五十一中高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津五十一中高二（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知过点和点的直线与过点和点的直线平行，则的值是( )
A. B. C. D.
2.在直角坐标平面内有两点，，在轴上有点，使，则点的坐标是( )
A. B. C. D. 或
3.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则 ( )
A. B. C. D.
4.已知，，则，( )
A. B. C. D.
5.正方体中，( )
A. B. C. D.
6.下列四组直线中，互相垂直的一组是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
7.若直线：在轴和轴上的截距相等，则直线的斜率为( )
A. B. C. 或 D. 或
8.已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点中，在平面内的是( )
A. B. C. D.
9.过点的直线与连接，的线段总有公共点不包含端点，则直线的斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知，，三点共线，则实数的值为 ．
11.如图，在长方体中，设，，，则 ______．
12.已知，，且与垂直，则的值为 ．
13.如图，四边形是边长为的正方形，平面，平面，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
14.直线的方向向量是，平面的法向量，若直线平面，则 ______．
15.垂直于直线，且与两坐标轴围成的三角形的面积为的直线的方程为______．
三、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
如图，棱长为的正方体，，，分别是，，的中点．
求证：；
求与所成角的余弦值．
17.本小题分
求经过直线：，：的交点，且满足下列条件的直线的方程．
经过点；
与直线平行；
与直线垂直．
18.本小题分
如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点．
求直线与平面所成角的余弦值．
求二面角的余弦值．
19.本小题分
如图，在三棱台中，若平面，，，，为中点，为棱上一动点不包含端点．
若为的中点，求证：平面；
是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出长度；若不存在，请说明理由．
参考答案
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16.证明：建立如图所示的空间直有坐标系，分
则，，，，
所以，，
，
分 因为，
所以，
即
解：因为

所以，
17.解：由，求得，可得直线：，：的交点．
直线还经过点，故它的方程为，即．
根据所求直线与直线平行，可设它的方程为，
再把点代入，可得，求得，故所求的直线的方程为．
根据所求直线与直线垂直，可设它的方程为，
再把点代入，可得，求得，故所求的直线的方程为．
18.解：由题意，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图空间直角坐标系，
由于，，所以，，，，
又因为为的中点，故，
所以，，，
设平面的法向量为，
所以，即，
令，则，
故平面的法向量为，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的余弦值为．
由可知：平面的法向量为，
又因为平面，
所以平面的法向量为，
所以，
因为二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为．
19.解：证明：分别取中点，连接，
则为的中位线，
，，
又，，
，，
四边形为平行四边形，
，又平面，平面，
平面．
以为坐标原点，正方向为，，轴，建系如图，
则，，，，
，，，
设，则，
，
令平面的法向量为，
则，取；
又易知平面的一个法向量，
，
解得或舍，
，，
即的长为．
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