2024-2025学年云南省曲靖市富源一中等校高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年云南省曲靖市富源一中等校高二（上）月考
数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，，则( )
A. B. C. D.
2.设集合，，且，则( )
A. B. C. D.
3.若是纯虚数，则实数的值为( )
A. B. C. D. 或
4.三条直线，，的位置如图所示，它们的斜率分别为，，，则，，的大小关系为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知，，直线的斜率，直线的斜率，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知，，，若，，，四点共面，则( )
A. B. C. D.
7.如图，空间四边形中，，，，点在上，，点为中点，则等于( )
A.
B.
C.
D.
8.设、，向量，，且，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各图象表示的函数有零点的是( )
A. B.
C. D.
10.下列命题中，为真命题的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. 时，的最小值是
11.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是( )
A. 两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B. 直线的方向向量，平面的法向量是，则
C. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则
D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间直角坐标系中，已知，关于轴对称，则 ______．
13.已知向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ．
14.已知球是正四面体的外接球，则球与四面体的体积比为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的最小正周期；
求的最大值以及取得最大值时的集合；
讨论在上的单调性．
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．
求异面直线与所成角的余弦值；
求点到平面的距离；
求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
某景点某天接待了名游客，老年人，中青年人，少年人，该景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取人，以评分方式进行满意度回访将统计结果按照，，，，分成组，制成如下频率分布直方图：
求抽取的样本老年、中青年、少年的人数；
求频率分布直方图中的值；
估计当天游客满意度分值的分位数．
18.本小题分
已知在中，，．
求；
设，求边上的高．
19.本小题分
如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．
证明：；
若是边长为的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．
参考答案
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15.解： ，
则 的最小正周期 ；
由 ，，得 ，，
则当 ， 时， 取得最大值 ，
故 的最大值为 ，取得最大值时 的集合为 ；
由 ，可得 ， ，
由 ，得 ，则 在 单调递增；
由 ，得 ，则 在 单调递减，
故 在 上的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．

16.解：由题意可知、、两两垂直，
如图所示建立空间直角坐标系，
则，，，，
即，
所以，
即异面直线与所成角的余弦值为；
由知：，
设面的一个法向量为，
则由，，有，
取，可得，，即，
所以点到平面的距离为；
由知：，
设面的一个法向量为，
则由，，有，
取，可得，，即，
设平面与平面夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值．
17.解：老年人，中青年人，少年人，故老年、中青年、少年的人数比例为：：：：，
故抽取人，样本中老年人数为人，中青年人数为人，少年人数为人；
，
解得：；
设当天游客满意度分值的分位数为，
因为，，
所以位于区间内，
则，解得：，
所以估计当天游客满意度分值的分位数为．
18.解：，，解得．
可化为，
即，
展开得：，整理得，
将代入，得，
，．
由知，，，
．
又，，
边上的高．

19.解：证明：因为，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以；
方法一：
取的中点，因为为正三角形，所以，
过作与交于点，则，
所以，，两两垂直，
以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，
设，则，
因为平面，故平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
又，
所以由，得，
令，则，，故，
因为二面角的大小为，
所以，
解得，所以，
又，所以，
故．
方法二：
过作，交于点，过作于点，连结，
由题意可知，，又平面
所以平面，又平面，
所以，又，，、平面，
所以平面，又平面，
所以，
则为二面角的平面角，即，
又，
所以，则，
故，
所以，
因为，
则，
所以，则，
所以，则，
所以．
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