云南省昆明十四中2024-2025学年高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年云南省昆明十四中高二（上）月考数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.记复数的共轭复数为，若，则( )
A. B. C. D.
2.设向量，则( )
A. “”是“”的必要条件
B. “”是“”的必要条件
C. “”是“”的充分条件
D. “”是“”的充分条件
3.定义运算：已知，则( )
A. B. C. D.
4.若直线过点，倾斜角为，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
5.设、为两个平面，、为两条直线，且下述四个命题：
若，则或
若，则或
若且，则
若与，所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是( )
A. B. C. D.
6.圆与直线相交所得弦长为( )
A. B. C. D.
7.过点 、 且圆心在直线上的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
8.沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时如图，沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体，下方的容器中装有沙子，沙子堆积成一个圆台，若该沙漏高为，沙子体积占该沙漏容积的，则沙子堆积成的圆台的高为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线还经过下列哪些点( )
A. B. C. D.
10.已知圆：及点，则下列说法正确的是( )
A. 点的坐标为
B. 点在圆外
C. 若点在圆上，则直线的斜率为
D. 若是圆上任一点，则的取值范围为
11.如图，正方体的棱长为，为棱的中点，为底面正方形内含边界的动点，则( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 直线平面
C. 当时，
D. 直线与平面所成角的正弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，角，，的对边分别为，且的面积为，，则 ______．
13.端午节是我国传统节日，甲，乙，丙人端午节来常州旅游，若甲、乙人中至少有人来常州旅游的概率是，丙来常州旅游的概率是，假定人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内甲，乙，丙人中至少有人来常州旅游的概率为 ．
14.已知点，，平面内的动点满足，则点的轨迹形成的图形周长是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知中，角，，所对的边分别为，，，其中．
求的值；
若的面积为，周长为，求的外接圆面积．
16.本小题分
已知直线：，：．
若坐标原点到直线的距离为，求的值；
当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程．
17.本小题分
如图，在正四棱柱中，点分别在棱，上，．

证明：；
点在棱上，当二面角为时，求．
18.本小题分
某初级中学共有学生名，各年级男、女生人数如下表：
七年级 八年级 九年级
女生
男生
已知在全校学生中随机抽取名，抽到八年级女生的概率为．
求的值；
已知，，求九年级中女生比男生少的概率；
已知，在全校学生中随机抽取一名学生，则该学生是女生或是九年级学生的概率是多少？
19.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，，，，且是的中点．
求证：平面平面；
若四棱锥体积为，求二面角的正弦值；
若二面角的大小为，求直线与平面所成角的余弦值．
参考答案
1.
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15.解：由正弦定理得，
因为，，故，则，
因为，故．
由题意，故．
由余弦定理得，
解得故的外接圆半径，
故所求外接圆面积．
16.解：设原点到直线的距离为，则，解得或；
由解得，即与的交点为．
当直线过原点时，直线的方程为；
当直线不过原点时，设的方程为，将代入得，
所以直线的方程为．
故满足条件的直线的方程为或．
17.解：以 为坐标原点， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图，

则 ，
，
，
又 不在同一条直线上，
．
设 ，
则 ，
设平面 的法向量 ，
则 ，
令 ，得 ，
，
设平面 的法向量 ，
则 ，
令 ，得 ，
，
，
化简可得， ，
解得 或 ，
或 ，
．

18.解：，．
设九年级女生比男生少为事件，九年级女生数、男生数记为，
由知，，，．
满足题意得所有样本点是，，，，，共个，
事件包含的样本点是，，，，，共个．
因此．
设“抽到女生”，“抽到九年级学生”，由知，
又，，，
全校女生共有名，
则有，，．
该学生是女生或九年级学生的概率为．
19.解：证明：，
由余弦定理得，
，，
，，，
，，又，，
四边形为正方形，
，又，
，，平面，
平面，又平面，
平面平面；
由可知平面，平面平面，设，
二面角的平面角为，
又到平面的距离为，
四棱锥体积为，
，
二面角的正弦值为；
在平面内，过点作，交于，
平面平面，平面平面，
平面，
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
由可知为二面角的平面角，即，
，由，可得，
，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，
平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
，
即直线与平面所成角的余弦值为．
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