黑龙江省绥化市绥棱一中2024-2025学年高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年黑龙江省绥化市绥棱一中高二（上）月考
数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.曲线与曲线的( )
A. 长轴长相等 B. 焦距相等 C. 离心率相等 D. 短轴长相等
2.经过两点，的直线的倾斜角为，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知，，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.已知直线的斜率为，在轴上的截距为，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
5.若方程表示椭圆，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆：的两焦点为，，为椭圆上一点且，则( )
A. B. C. D.
8.如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知正方体的棱长为，下列四个结论中正确的是( )
A. 平面
B. 直线与直线为异面直线
C. 直线与直线所成的角为
D. 平面
10.已知直线，则( )
A. 若，则的一个方向向量为
B. 若，则或
C. 若，则
D. 若不经过第二象限，则
11.已知是椭圆上任意一点，是圆上任意一点，，分别是椭圆的左右焦点，为椭圆的下顶点，则( )
A. 使为直角三角形的点共有个
B. 的最大值为
C. 若为钝角，则点的横坐标的取值范围为
D. 当最大时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若椭圆的一个焦点为，则的值为______．
13.在正方体中，，分别为，的中点，则直线和夹角的余弦值为 ．
14.已知，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线与直线相交于点，则：
求过点且平行于直线的直线．
求过点且垂直于直线的直线．
16.本小题分
已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动．
求线段的中点的轨迹的方程
设圆与曲线交于，两点，求线段的长
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为梯形，，，，，，，交于点，点在线段上，且．
证明：平面．
求二面角的正弦值．
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，上顶点为．
求椭圆的方程
过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，且，求的值．
19.本小题分
如图，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图，连接，．
求证：平面；
若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；
线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：由解得，即，
因为直线的斜率为，
所以过点且平行于直线的直线的斜率为，
所以直线为：，化简得．
因为直线的斜率为，
所以点且垂直于直线的直线的斜率为
所以直线为：，化简得．
16.解：设点的坐标为，点的坐标为，
由于点的坐标为，且点是线段的中点，
所以，．
于是有，．
因为点在圆上运动，
所以点的坐标满足方程，
即．
把代入，得，
整理，得，
所以点的轨迹的方程为．
圆与圆的方程相减，
得．
由圆的圆心为，半径，
且到直线的距离，
则公共弦长．

17.证明：平面平面，平面平面，，
平面，
在中，，，，
且，是等腰直角三角形，
，，
，，
又，为等腰直角三角形，，
∽，，
又，，
平面，平面，
平面．
解：由得平面，且，所以建立如图所示空间直角坐标系，
，，，
，．
设平面的法向量为，则，
令，则，，，
平面的法向量为，
设二面角的平面角为，
则，
则．
18.解：因为椭圆 的离心率为，上顶点为，
所以，，即，
因为，解得，
所以椭圆的方程为；
根据题意得直线，设，，
则，整理得，
，即，，，
，
即，解得：或舍去，
．
19.解：，分别为，的中点，，
，，，
又，，平面，平面，
平面；
由于，，两两垂直，于是以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，
设平面的法向量为，则，则可取，
，
直线与平面所成角的正弦值为；
假设存在，使得二面角的正弦值为，即二面角的余弦值为，
由得，，
，
易得平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，则，
则可取，
若二面角的余弦值为，
则，
解得，又，
，即存在，使二面角的正弦值为．
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