天津市静海区第一中学2024-2025学年高三上学期10月月考试题数学 （含答案）

静海一中2024-2025第一学期高三数学（10月）
学生学业能力调研试卷
考生注意：
本试卷分第Ⅰ卷基础题（132分）和第Ⅱ卷提高题（15分）两部分，共147分。3分卷面分。
知 识 技 能 学习能力（学法）
内容 集合 简易逻辑 函数性质 三角函数 复数 导数与函数 平面向量 不等式 关键环节
分数 5 5 23 50 5 35 22 5 20
第Ⅰ卷 基础题（共132分）
一、选择题: 每小题5分，共45分.
1．已知集合 ， 则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知为正数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．的图象向右平移个单位后得到的图象
C．在区间的最小值为
D．为偶函数
9．如图，在平面四边形中，，，，，，，若点F为边AD上的动点，则的最小值为（ ）

A．1 B． C． D．2
二、填空题：每小题5分，共30分.
10．已知复数（为虚数单位），其共轭复数为，则的虚部为 ．
11．计算： ．
12．平面向量，满足，，，则与的夹角为 ．
13．在中，内角的对边分别为，且，，，则的面积为 ．
14．已知，且，则的最小值为 .
15．在平面四边形中，，，若，则= ；若为边上一动点，当取最小值时，则的值为 ．
三、解答题：(本大题共5小题，共72分)
16.（15分）
在中，内角所对的边分别为．已知，，，．
（1）(5分）求和的值；
（2）(4分）求三角形BC边的中线长；
（3）(6分）求的值．
17．（12分）已知函数，的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.
(1)(5分）求函数的单调递增区间：
(2)(7分）将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在区间上的值域.
18．（15分）设函数.
(1)(4分）当时，求在处的切线方程；
(2)(4分）讨论的单调性；
(3)(7分）若恒成立，求m的取值范围.
19．（15分）(1)(4分）设，对任意实数x，记．若有三个零点，则实数a的取值范围是 ．
(2)(4分）已知函数，其中，若方程有三个不同的实数根，则实数k的取值范围 ．
(3)(4分）已知函数，函数有四个零点，则实数的取值范围是 .
（4）(3分）问题：用数形结合法解决函数零点问题是常用的方法，请总结此方法使用时需要注意什么问题？
第Ⅱ卷 提高题（共15分）
20.（15分）已知函数，（）.
(1)(4分）当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)(4分）求函数的单调区间；
(3)(7分）若对任意恒成立，求整数a的最小值.
静海一中2024-2025第一学期高三数学（10月）
学生学业能力调研试卷答题纸
学校： 姓名： 班级： 考场： 座号
一、选择题：涂卡（不用做）
二、填空题（每题5分，共30分）
10. 11._________ 12.
13._______ 14.___________15.
三、解答题（本大题共5题，共72分）
16.（15分）
（1）（5分）
（2）（4分）
（3）（6分）
17.（12分）
（1）（5分）
（2）（7分）
18. (15分)
（1）（4分）
（2）（4分）
（3）（7分）
19.（15分）
（1）（4分）
（2）（4分）
（3）（4分）
（2）（3分）
20.（15分）
（1）(4分)
（2）(4分)
（3）（7分）
静海一中2024-2025第一学期高三数学（10月）
学生学业能力调研试卷 答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 D A A D A C B D B
二、填空题
10. 11.
12. 13. 14. 15. ,
三、解答题
16.（1）在中，因为，故由，可得．----1分
由已知及余弦定理，有，所以.----3分
由正弦定理,得.
所以，的值为，的值为.----5分
（2）设BC边的中点为D，在中，
由余弦定理得:，----9分
（3）由（1）及，得，所以，
．----12分
故．----15分
17. （1）因为
，----2分
又由题，所以，
所以，
令，则，
所以函数的单调递增区间为.----5分
（2）由（1），
故由题意可得，----7分
当，，
故由正弦函数图像性质可得，----10分
所以即，
所以函数在区间上的值域为.----12分
18.（1）当时，，----2分
则在处的切线方程为：；----4分
（2）由，
若，则恒成立，即在上单调递增；
若，则时，有，即在上单调递减，
时，有，即在上单调递减；
综上：若时，在上单调递增；若时，在上单调递减；----8分
（3）不等式恒成立，----11分
设，
易知在上单调递增，
又，所以时有，时有，
即在上单调递减，在上单调递增，----13分
所以，
故m的取值范围.----15分
19. (1) ----4分
(2)
如图，，则的图像如上，明显地，与不可能有交点，故时不符题意；
如图，，则的图像如上，明显地，与有三个不同交点时，必有，解得，
而时，明显不符题意；
故答案为：----8分
(3)解：有四个零点等价于与有四个不同的交点
当时，，
当时，；当时，
即在上单调递减，在上单调递增
当时，，此时
由此可得图象如下图所示：

恒过，由图象可知，直线位于图中阴影部分时，有四个不同交点
即临界状态为与两段图象分别相切
当与相切时，可得：
当与相切时
设切点坐标为，则
又恒过，则
即，解得：
由图象可知：----12分
20. 【详解】（1）当时，，
所以，
所以切线方程为，即.----4分
（2）因为，
所以，----5分
设，
则，
又因为，所以，即单调递增，
又因为，所以时，，即；
时，，即，----7分
综上可知，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.----8分
（3）因为对任意恒成，
即，，
即，
即，----11分
设，则，
易知单调递增，所以，
所以单调递增，则原不等式等价于，----13分
即 对任意恒成立，
所以，令，则，
又因为，
令，则，所以单调递减;
又因为，，
所以，
所以时，，即，单调递增；
时，，即，单调递减；
所以，
所以，而，
所以整数的最小值为.----15分