2024-2025学年黑龙江省双鸭山市友谊高级中学高二（上）段考数学试卷（一）（含答案）

2024-2025学年黑龙江省双鸭山市友谊高级中学高二（上）段考
数学试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知直线：，：，若：；：，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知直线：与圆：交于，两点，则当弦最短时，直线的方程为( )
A. B. C. D.
4.已知平面内有两点，，平面的一个法向量为，则( )
A. B. C. D.
5.在平面直角坐标系中，，分别是，轴正半轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则该圆半径的最小值为( )
A. B. C. D.
6.点为轴上的点，，，以，，为顶点的三角形的面积为，则点的坐标为( )
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
7.棱长为的正方体中，是中点，则异面直线与所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
8.点是以为直径的单位圆上的动点，到，的距离分别为，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：，动直线：，则下列结论错误的有( )
A. 不存在，使得的倾斜角为 B. 存在实数，使得与没有公共点
C. 对任意的，与都不重合 D. 对任意的，与都不垂直
10.如图，平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是( )
A.
B.
C. 向量与的夹角是
D. 异面直线与所成的角的余弦值为
11.已知圆：，直线：，则( )
A. 直线恒过定点
B. 存在实数，使得直线与圆没有公共点
C. 当时，圆上恰有两个点到直线的距离等于
D. 圆与圆恰有两条公切线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线：，直线：若，则实数的值为______．
13.定义，若向量，向量为单位向量则的取值范围是______．
14.已知圆：与圆：的公共弦所在直线恒过点，则点坐标为______；的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知点，求下列直线的方程：
求经过点，且在轴上的截距是轴上截距的倍的直线的方程；
光线自点射到轴的点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程．
16.本小题分
已知圆：，直线过点．
若直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程；
若直线与圆交于另一点，与轴交于点，且为的中点，求直线的方程．
17.本小题分
在圆过点；圆心在直线上；圆与直线相切，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行求解．
已知圆过点，，且_____．
求圆的方程．
已知点，，在圆上是否存在点，使得？若存在，求出点的个数；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
如图，四棱锥中，平面，过的平面分别与棱交于点，．
求证：
记二面角的大小为，求的最大值．
19.本小题分
已知圆，为圆上一点．
求的取值范围
圆的圆心为，与圆相交于、两点，为圆上相异于、的点，直线，分别与轴交于点、，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：当直线过原点时，满足在轴上的截距是轴上截距的倍，
此时直线方程为，将代入，可得，化简可得；
当直线不过原点时，设直线方程为，且，
即，将代入，可得，解得，
则直线方程为，化简可得；
综上，直线方程为或．
点关于轴的对称点的坐标为，
由题意可知，反射光线所在的直线经过点与，
所以反射光线所在的直线斜率为，
则反射光线所在的直线方程为，
化简可得．
16.解：当直线斜率不存在时，与圆相切不符合题意，舍去．
当直线斜率存在时，设直线即，
圆心坐标为，由弦长为可知，圆心到直线的距离为，
即，所以
则直线方程为或
设，因为为中点，
则，由在圆上得
即，则．
所以直线
即直线．
17.解：若选，设圆的方程为，
由已知可得，
解得，，，
所以圆的方程为．
即．
若选，由已知得的中点为，直线的斜率为，
所以的垂直平分线的方程为，即．
因为圆心在直线上，所以联立方程，
解得，所以圆心的坐标为，
半径为，
所以圆的方程为．
若选，设圆的方程为，
因为圆过点，，
所以，
因为圆与直线相切，
所以，解得，，，
所以圆的方程为．
设，由已知，
所以，即，
所以点在圆：上，圆的圆心的坐标为，半径．
因为点在圆：上，圆的圆心的坐标为，半径，
又，，，
所以，
所以圆与圆相交，两圆有两个公共点，所以符合题意的点的个数是．
18.解：因为，平面，平面，
所以平面．
因为过的平面分别与棱交于，
所以；
因为平面，平面，平面，
所以，
又因为，
如图，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设
则，
设平面即平面的法向量为，
则，令，则，
于是；
设平面即平面的法向量为，
则，令，则，
于是，
所以，
因为，所以，
由二面角的大小为，
根据的方向判断可得，
所以，当时，的最大值为．

19.解：可看做动点与定点确定的直线的斜率，
此时，
过点的直线可设为，即，
圆半径为，当点到直线的距离为时，
即直线与圆相切，，
解得，
则即的取值范围为；
由对称性，可设，，
设且，则，
直线方程为：，
直线方程为：，
分别令，可得，，
，
观察易发现，、同在的上侧或下侧，
则，同时，
或，同时，
则
，
于是，，
所以，当时，取到最大值．
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