2024-2025学年福建省龙岩市龙岩二中高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省龙岩二中高二（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列是等差数列，若，则( )
A. B. C. D.
2.在等比数列中，已知，，，则的值为( )
A. B. C. D.
3.在和之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和是( )
A. 或 B. 或 C. D.
4.从，，，，这个数字中任取个不同的数字，使它们成等差数列，则这样的等差数列共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.已知的前项和为，，当时，，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知是递增的等比数列，且，等差数列满足，，设为正整数，且对任意的，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.在数列中，已知，且，则( )
A. B. C. D.
8.设等差数列的前项和为，公差为，，则下列结论正确的是( )
A. B. 使得成立的最小自然数是
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的首项，前项和为，且，则( )
A. B. 是递增数列
C. 是等差数列 D.
10.定义数列为数列的“倍差数列”，若的“倍差数列”的通项公式为，且，则下列正确的有( )
A.
B. 数列的前项和为
C. 数列的前项和与数列的前项和相等
D. 数列的前项和为，则
11.设是无穷数列，若存在正整数，使得对任意，均有，则称是间隔递增数列，是的间隔数，下列说法正确的是( )
A. 公比大于的等比数列一定是间隔递增数列
B. 已知，则是间隔递增数列
C. 已知，则是间隔递增数列且最小间隔数是
D. 已知，若是间隔递增数列且最小间隔数是，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设是等比数列的前项和，若，则______．
13.已知数列中，，，若是的倍数，且，求所有满足条件的的表达式______．
14.数列满足，若对任意，所有的正整数都有成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
为等差数列的前项和已知，．
求的通项公式．
设，求数列的前项和．
17.本小题分
甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为万元，由于经营方式不同，甲超市前年的总销售额为万元，乙超市第年的销售额比前一年销售额多万元．
Ⅰ求甲、乙两超市第年销售额的表达式；
Ⅱ若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？
18.本小题分
已知正项数列的前项和为，且满足．
Ⅰ求数列的通项公式
Ⅱ若，的前项和为，求．
19.本小题分
如果无穷数列满足“对任意正整数，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质”
若等比数列的前项和为，且公比，求证：数列具有“性质”；
若等差数列的首项，公差，求证：数列具有“性质”，当且仅当；
如果各项均为正整数的无穷等比数列具有“性质”，且四个数中恰有两个出现在数列中，求的所有可能取值之和．
参考答案
1.
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13.，
14.
15.解：，
，
又，
数列是首项、公比均为的等比数列，
，即；
由得，
则，
则，
两式相减得，
．
16.解：设数列的公差为，
由题意得
解得，，
所以是首项为，公差为的等差数列，
所以数列的通项公式为，．
由知，，
所以．
设数列的前项和为，
则
．
17.解：Ⅰ假设甲超市前年总销售额为，第年销售额为则，因为时，，则时，
，
故；
设乙超市第年销售额为，
又，时，
故．
显然也适合，故
Ⅱ当时，，，有；当时，，，有；
当时，，而，故乙超市有可能被收购．
当时，令，则，，即．
又当时，，故当且时，必有．
即第年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购
18.解：Ⅰ因为，
时，，
整理得
，，
数列是正项数列，，，
当时，，，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
Ⅱ由题意知，设的前项中奇数项的和为，偶数项的和为，
，
，
．
19.解：
解得：则即
且
若则
则当对任意正整数，都存在正整数使得
则等比数列满足性质 ；
因为数列具有“性质”，
则
若数列具有性质则，
则，
又则
则，
，
则，
又则当时上式成立，
当时，
则
因为则时，则则则则
反之，若则则上面各式成立，则数列具有“性质”，
综上数列具有“性质”，当且仅当 ；
从这四个数中任选两个，
共有以下种情况：，；，；，，，，．
对于，因为为正整数，
可以认为是等比数列中的项，，首项的最小值为．
下面说明此数列具有性质：
，，任取，，
则，
为正整数，因此此数列具有性质；
对于，因为为正整数，认为是等比数列中的项，，
首项的最小值为，下面说明此数列不具有性质：
，，
若不为等比数列中的项，
因此此数列不具有性质，
同理可得，；，；，；，，
每组所在等比数列不具有“性质”．

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