2024-2025学年福建省福州市闽侯一中高二（上）第一次月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年福建省福州市闽侯一中高二（上）第一次月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则( )
A. B. C. D.
2.已知直线的倾斜角的范围是，则此直线的斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
3.空间向量在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.若是空间中的一组基底，则下列可与向量构成基底的向量是( )
A. B. C. D.
5.若向量，，且与的夹角的余弦值为，则( )
A. B. C. 或 D. 或
6.如图，在棱长为的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
7.平行六面体中，底面为正方形，，，为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.如图，在正方体中，，，则下列结论中正确的是( )
A. 平面
B. 平面平面
C. 平面
D. 平面内存在与平行的直线
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若直线的斜率，且过点，则直线经过点( )
A. B. C. D.
10.如图，已知正方体的棱长为，为底面内包括边界的动点，则下列结论正确的是( )
A. 存在点，使平面
B. 三棱锥的体积为定值
C. 若，则点在正方形底面内的运动轨迹长为
D. 若点是的中点，点是的中点，过，作平面平面，则平面截正方体的截面面积为
11.已知单位向量两两的夹角均为，且，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系为坐标原点下的“仿射”坐标，记作，则下列命题是真命题的有( )
A. 已知，则
B. 已知，其中，，，则当且仅当时，向量的夹角取得最小值
C. 已知，则
D. 已知，则三棱锥的表面积
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线的方向向量为，且过点，则点到的距离为______．
13.如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则的长为______．
14.已知三棱锥的体积为是空间中一点，，则三棱锥的体积是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，已知正方形的边长为，平面，且，，分别为，的中点．
求点到平面的距离；
求直线到平面的距离．
16.本小题分
已知坐标平面内三点，，
求直线的斜率和倾斜角
若，，，可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标
若是线段上一动点，求的取值范围．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，侧面平面分别为的中点．

证明：平面．
若，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．
证明：平面；
若，，在线段上不含端点，是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．
19.本小题分
若，，，，，，则称为维空间向量集，为零向量对于，任意，，定义：
数乘运算：；
加法运算：；
数量积运算：；
向量的模：．
对于中一组向量，若存在一组不同时为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关．
对于，判断下列各组向量是否线性相关：
；
；
已知线性无关，试判断是否线性相关，并说明理由；
证明：对于中的任意两个元素，均有．
参考答案
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15.建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，．
，，．
设平面的法向量为，
则即
解得，令，得，
因此，点到平面的距离为．
由知，
因为，分别为，的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
所以到平面的距离为．
16.解：直线的斜率为，
设倾斜角为，则，
，
直线的倾斜角为．
如图，
当点在第一象限时，，．
设，则，
解得，，故点的坐标为．
由题意得为直线的斜率．
当点与点重合时，直线的斜率最小，
当点与点重合时，直线的斜率最大，．
故直线的斜率的取值范围为，即的取值范围为．
17.解：证明：连接，设与相交于点，因为，
，所以为平行四边形，即为的中点．
连接，因为为的中点，所以．
因为平面平面，所以平面．
因为，所以．
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面 ，
取的中点，连接 ，而，平面，
故，，
因为是等腰梯形，所以．
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以．
设平面的法向量为，则
令，则，可得．
，
所以直线与平面所成角的正弦值为．

18.证明：过点作于点，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
又平面，平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面．
解：假设在线段上不含端点，存在点，使得二面角的余弦值为，
以为原点，分别以、为轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，
即
取，，，则，
因为在线段上不含端点，
所以可设，，
所以，
设平面的一个法向量为，，，
即
取，，，则，
，，
解得或，
又，所以，经验证满足题意，
所以，存在点，使得二面角的余弦值为，此时是上靠近的三等分点．
19.解：对于，假设与线性相关，
则存在不全为零的实数，使得，
则即，
可取，满足方程组，所以线性相关；
对于，假设线性相关，则存在不全为零的实数，，，
使得，则
可取，满足方程组，所以线性相关；
解：假设线性相关．
则存在不全为零的实数，，，，
使得，
即，
因为线性无关，
所以解得，与线性相关定义相矛盾，
所以向量线性无关；
证明：设，
则由题设定义，可得：
，
，
则，
所以
，
当且仅当，，，成立时，等号成立，
所以，故原式得证．
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