2024-2025学年湖南省娄底市涟源市部分学校高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年湖南省娄底市涟源市部分学校高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 186.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-17 16:22:22 | ||
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文档简介
2024-2025学年湖南省娄底市涟源市部分学校高二（上）月考
数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法正确的是( )
A. 零向量没有方向
B. 空间向量不可以平行移动
C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D. 同向且等长的有向线段表示同一向量
2.设复数，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
4.两平面，的法向量分别为，，若，则的值是．
A. B. C. D.
5.学校开展学生对食堂满意度的调查活动，已知该校高一年级有学生人，高二年级有学生人，高三年级有学生人．现从全校学生中用分层抽样的方法抽取人调查，则抽取的高二年级学生人数为( )
A. B. C. D.
6.如图：在平行六面体中，为，的交点若，，，则向量( )
A.
B.
C.
D.
7.已知空间中两条不同的直线，，其方向向量分别为，，则“，”是“直线，相交”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知二面角中，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则二面角的平面角满足( )
A. 余弦值为 B. 正弦值为 C. 大小为 D. 大小为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题是真命题的有( )
A. ，，，是空间四点，若能构成空间的一个基底，那么，，，共面
B. 直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直
C. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则
D. 平面经过三点是平面的法向量，则
10.在空间直角坐标系中，，，，则( )
A.
B.
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 点到直线的距离是
11.如图，正方体的棱长为，为的中点，为棱上的动点包含端点，则下列结论正确的是( )
A. 存在点，使
B. 存在点，使
C. 四面体的体积为定值
D. 二面角的余弦值的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，分别是直线、的方向向量，若，则 ______．
13.已知，，那么向量 ．
14.若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量．
求；
求向量与夹角的余弦值．
16.本小题分
已知正方体棱长为，若为的中点，则
求直线与直线的夹角的余弦值；
求证：平面平面．
17.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
求；
若，的面积为，求的周长．
18.本小题分
在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
求点到的距离．
19.本小题分
如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．
证明：平面；
若，，在线段上不含端点，是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为向量．
由空间向量的坐标运算法则可知：
，
，．
设与的夹角为，则，
，，，，
所以，
所以向量与夹角的余弦值为．
16.解：在正方体中，，
所以直线与直线的夹角，
即直线与直线的夹角，即为，
在中，，，
所以，则，
所以直线与直线的夹角的余弦值为；
证明：如图，在正方体中，
取的中点，连接，，，，
易得，，
所以，，
又平面，平面，且平面平面，
所以即为平面与平面所成角，
在中，，
又，是的中点，则，
在中，，
又平面，
所以在中，，
则，所以，
所以平面平面．
17.解：因为，
由正弦定理可得，
整理可得，
而由正弦定理可得，
所以，，
解得；
由及，可得，
由余弦定理可得，
，
所以，
所以，
即三角形的周长为．
所以的周长为．
18.解：如图，取 中点 ，连接
因为 为 中点， ， ， ，所以 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 为 中点， 为 中点，则 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ，
又 平面 ，故 平面 ．
根据题意，分别以 所在直线为 轴，建立如图所示空间直角坐标系，
由条件可得， ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，解得 ，
取 ，则 ，所以平面 的一个法向量为 ，
设直线与平面 所成角为 ，
则 ．
所以直线与平面 所成角的正弦值为 ．
由可知， ，
所以点 到的距离为 ．
19.证明：过点作于点，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
又平面，平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面．
解：假设在线段上不含端点，存在点，使得二面角的余弦值为，
以为原点，分别以、为轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，
即
取，，，则，
因为在线段上不含端点，
所以可设，，
所以，
设平面的一个法向量为，，，
即
取，，，则，
，，
解得或，
又，所以，经验证满足题意，
所以，存在点，使得二面角的余弦值为，此时是上靠近的三等分点．
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数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法正确的是( )
A. 零向量没有方向
B. 空间向量不可以平行移动
C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D. 同向且等长的有向线段表示同一向量
2.设复数，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
4.两平面，的法向量分别为，，若，则的值是．
A. B. C. D.
5.学校开展学生对食堂满意度的调查活动，已知该校高一年级有学生人，高二年级有学生人，高三年级有学生人．现从全校学生中用分层抽样的方法抽取人调查，则抽取的高二年级学生人数为( )
A. B. C. D.
6.如图：在平行六面体中，为，的交点若，，，则向量( )
A.
B.
C.
D.
7.已知空间中两条不同的直线，，其方向向量分别为，，则“，”是“直线，相交”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知二面角中，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则二面角的平面角满足( )
A. 余弦值为 B. 正弦值为 C. 大小为 D. 大小为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题是真命题的有( )
A. ，，，是空间四点，若能构成空间的一个基底，那么，，，共面
B. 直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直
C. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则
D. 平面经过三点是平面的法向量，则
10.在空间直角坐标系中，，，，则( )
A.
B.
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 点到直线的距离是
11.如图，正方体的棱长为，为的中点，为棱上的动点包含端点，则下列结论正确的是( )
A. 存在点，使
B. 存在点，使
C. 四面体的体积为定值
D. 二面角的余弦值的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，分别是直线、的方向向量，若，则 ______．
13.已知，，那么向量 ．
14.若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量．
求；
求向量与夹角的余弦值．
16.本小题分
已知正方体棱长为，若为的中点，则
求直线与直线的夹角的余弦值；
求证：平面平面．
17.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
求；
若，的面积为，求的周长．
18.本小题分
在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
求点到的距离．
19.本小题分
如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．
证明：平面；
若，，在线段上不含端点，是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为向量．
由空间向量的坐标运算法则可知：
，
，．
设与的夹角为，则，
，，，，
所以，
所以向量与夹角的余弦值为．
16.解：在正方体中，，
所以直线与直线的夹角，
即直线与直线的夹角，即为，
在中，，，
所以，则，
所以直线与直线的夹角的余弦值为；
证明：如图，在正方体中，
取的中点，连接，，，，
易得，，
所以，，
又平面，平面，且平面平面，
所以即为平面与平面所成角，
在中，，
又，是的中点，则，
在中，，
又平面，
所以在中，，
则，所以，
所以平面平面．
17.解：因为，
由正弦定理可得，
整理可得，
而由正弦定理可得，
所以，，
解得；
由及，可得，
由余弦定理可得，
，
所以，
所以，
即三角形的周长为．
所以的周长为．
18.解：如图，取 中点 ，连接
因为 为 中点， ， ， ，所以 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 为 中点， 为 中点，则 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ，
又 平面 ，故 平面 ．
根据题意，分别以 所在直线为 轴，建立如图所示空间直角坐标系，
由条件可得， ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，解得 ，
取 ，则 ，所以平面 的一个法向量为 ，
设直线与平面 所成角为 ，
则 ．
所以直线与平面 所成角的正弦值为 ．
由可知， ，
所以点 到的距离为 ．
19.证明：过点作于点，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
又平面，平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面．
解：假设在线段上不含端点，存在点，使得二面角的余弦值为，
以为原点，分别以、为轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，
即
取，，，则，
因为在线段上不含端点，
所以可设，，
所以，
设平面的一个法向量为，，，
即
取，，，则，
，，
解得或，
又，所以，经验证满足题意，
所以，存在点，使得二面角的余弦值为，此时是上靠近的三等分点．
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