河北省衡水二中高二（上）2024-2025学年月考数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年河北省衡水二中高二（上）月考数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知两直线：和：，若，则( )
A. B. C. D.
2.若方程表示一个圆，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
3.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知在平面直角坐标系中，椭圆：的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的标准方程是( )
A. B. C. D.
4.已知直线的斜率的范围为，则直线的倾斜角的取值范围为( )
A. 或 B.
C. D. 或
5.已知圆：，若圆刚好被直线：平分，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.过椭圆：右焦点的直线：交于，两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
7.已知是圆：的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线：上存在两点，，使得恒成立，则线段长度的最小值是( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆：的一个焦点为，点，是上关于原点对称的两点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若椭圆的焦距为，则实数的值可为( )
A. B. C. D.
10.已知直线：，：，则下列说法正确的是( )
A. 不论为何值，
B. ，分别过定点，
C. 不论为何值，，都关于直线对称
D. 如果，交于点，则的最大值为
11.已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，直线与交于、两点，轴，垂足为，直线与椭圆的另一个交点为，则下列结论正确的是( )
A. 若，则的面积为
B. 四边形，可能为矩形
C. 直线的斜率为
D. 若与、两点不重合，则直线和斜率之积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆：内有点，则以点为中点的圆的弦所在的直线方程为______．
13.已知，，则的最小值为______．
14.已知为椭圆上的一点，过作直线交圆于，两点，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆，直线．
求证：直线恒过定点；
判断直线与圆的位置关系；
当时，求直线被圆截得的弦长．
16.本小题分
已知直线经过点．
若原点到直线的距离为，求直线的方程；
若直线被两条相交直线和所截得的线段恰被点平分，求直线的方程．
17.本小题分
已知椭圆经过点，，是椭圆的两个焦点，，是椭圆上的一个动点．
求椭圆的标准方程；
若点在第一象限，且，求点的横坐标的取值范围．
18.本小题分
已知圆，点是直线上的一动点，过点作圆的切线，，切点为，．
当切线的长度为时，求点的坐标；
若的外接圆为圆，试问：当运动时，圆是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由；
求线段长度的最小值．
19.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知点，圆：与轴的正半轴的交点是，过点的直线与圆交于不同的两点，．
若直线与轴交于，且，求直线的方程；
设直线，的斜率分别是，，求的值；
设的中点为，点，若，求的面积．
参考答案
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15.解：证明：直线的方程可化为：
，
令，解得
直线恒过定点．
圆：的圆心，半径，
点与圆心的距离，
点在圆内，即直线与圆相交．
当时，直线的方程为，
由圆心到直线的距离为，
半径，
直线被圆所截得的弦长为．
16.解：当直线的斜率不存在时，显然成立，直线方程为，
当直线斜率存在时，设直线方程为，
由原点到直线的距离为得，解得，
故直线的方程为，即，
综上，所求直线方程为或．
注：若写成一般方程，则为或
设直线夹在直线，之间的线段为在上，在上，
A、的坐标分别设为、，
因为被点平分，所以，，
于是，，
由于在上，在上，即，解得，，
即的坐标是，故直线的斜率是，
故直线的方程为：，
即．
17.解：椭圆经过点，，是椭圆的两个焦点，，
则，解得，，
椭圆的标准方程为．
，，，设，
则，
，
，
解得，
点在第一象限，，
，
点的横坐标的取值范围是
18.解：由题可知，圆的半径，设，
因为是圆的一条切线，所以，
所以，
解得或，
所以点的坐标为或．
设，因为，
所以经过、、三点的圆以为直径，
其方程为，
即，
由
解得或
所以圆过定点，．
因为圆方程为，
即，
又圆，
得圆方程与圆相交弦所在直线方程为
．
点到直线的距离，
所以相交弦长
，
所以当时，有最小值．

19.解：显然直线垂直于轴时不符合题意，故设直线方程为，
因为直线与圆交于不同两点，所以，解得．
令得，
对于令得，又
所以，所以，解得，或舍
所以直线的方程为．
联立得
设，，所以
，即的值是．
设中点，由知，代入直线的方程得
又由得
化简得将式代入得．
因为圆心到直线的距离
所以，到直线的距离
所以，即的面积为．
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