河南省南阳市第一中学2015-2016学年高二下学期开学考试（文）数学试题

河南省南阳市第一中学2015-2016学年高二下学期开学考试数学（文）试题
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给有一项是符合题目要求的）
1．命题“若，则或”的逆否命题是（ ）
A．若，则或 B．若或，则
C．若，则且 D．若且，则
2．已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，则使成立的的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．设命题甲：的解集是实数集；命题乙：，则命题甲是命题乙成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既非充分又非必要条件
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5．为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则等于（ ）
A．31 B．32 C．33 D．34
6．若曲线的某切线倾斜角为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知正数满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．5 D．6
8．数列中，对所有的正整数都有，则（ ）
A． B． C． D．
9．利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，利用列联表，由计算可得
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
参照附表，得到的正确结论是（ ）
A．有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
B．有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
C．在犯错误的概率不超过0.05%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.05%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
10．在中，，，，则角的对边的长为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于点、．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．4 B． C． D．
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12．已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，，则的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若方程表示椭圆，则实数的取值范围是______．
4．某学习小组进行课外研究性学习，为了测量不能到达的、两地，他们测得、两地的直线距离为，并用仪器测得相关角度大小如图所示，则、两地的距离大约等于______（提供数据：，，结果保留两个有效数字）
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15．已知函数，函数在区间内取得极大值，在区间内取得极小值，则的取值范围是______．
16．下列说法中
①命题“若，则”的否命题为“若，则”
②“”是“”的充分不必要条件
③对于常数，“”是“方程表示的曲线是双曲线”的充要条件
④“为真”是“为真”的充分不必要条件
其中说法正确的有______（写出所有真命题的编号）
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）设锐角三角形的内角的对边分别为，．
（1）求的大小；
（2）求的取值范围．
18．（12分）已知等差数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
19．（12分）已知函数，其中．
（1）若函数在单调递增，求实数的取值范围；
（2）若曲线在点处的切线垂直于轴，求函数的单调区间与极值．
20．（12分）椭圆的一个顶点为，离心率．
（1）求椭圆方程；
（2）若直线与椭圆交于不同的两点．若满足，求直线的方程．
21．（12分）已知函数，．
（1）当时，求证：，均有；
（2）当时，恒成立，求的取值范围．
22．（12分）已知点，直线相交于点，且．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过定点作直线与曲线交于、两点，的面积是否存在最大值，若存在，求出面积的最大值，若不存在，请说明理由．
河南省南阳市第一中学2015-2016学年高二下学期开学考试
数学（文）试题参考答案
一、选择
1-5DCCCA 6-10CCABD 11-12BD
11．【答案】B
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∴，∴，由此可得双曲线的离心率．
12．试题分析：设，∴，∵是定义在上的奇函数，
∴是定义在的偶函数，当时，，此时函数单调递增.
∵，，，
又，∴．故选D．
二、填空题
13． 14．1.4km 15． 16．②③
三、解答题
17．解：（1）由，根据正弦定理得，所以，
由为锐角三角形得． ………………5分
（2）…………7分
由为锐角三角形知，
所以．由此有，
所以的取值范围为． ………………10分
18．解：（1）设等差数列的公差为，由已知条件可得
，解得
故数列的通项公式为． ………………6分
（2）设数列的前项和为，
即，故，，
所以，当时，
．
所以．综上，数列的前项和． ………………12分
（用错位相减法也可）
19．试题解析：（1）对求导得
函数在单调递增，∴在恒成立
，，即，即恒成立，
构造，
∴，的取值范围 ………………4分
（2）对求导得，由在点处的切线垂直于直线轴，可知，解得 ………………5分
由（1）知
则，
令，解得或
1 3
+ －
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
由此知函数在时取得极大值 ………………10分
在时取得极小值． ………………12分
20．解：（1）由一个顶点为，离心率，
可得，，，解得，，即有椭圆方程为…………4分
（2）由知点在线段的垂直平分线上，
由，消去得，
由，得方程的，即方程有两个不相等的实数根．
设、，线段的中点，
则，∴，
∴，即，
∵，∴直线的斜率为，
由，得，∴，解得：， ………………10分
即有直线的方程为． ………………12分
21．试题分析：（1）对进行求导得到其导函数，因为的一个极值点为1，所以，代入即可求出的值；
（2）对进行求导得到其导函数，判断出其在上的单调性，从而可以判断出最大值在哪个点取得，求出其最大值；代入，分离参数，构造一个新函数，只需小于等于其最小值即可．
试题解析：（1）时，，
在上是增函数，
，
所以在上是减函数，
当时，，均有 ………………5分
（2）由知，， ………………6分
所以恒成立等价于在时恒成立， ………………7分
令，，有， ………………8分
单调递增
所以，，所以． ………………12分
22．试题分析：
（2）求的面积，可分割成两个同底的三角形，即，
然后设出直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理写出两根和和两根积代入即可表示出面积的最大值．
试题解析：（1）设， ………………1分
则， ………………3分
∴
∴ （未写出范围扣一分） ………………4分
（2）由已知当直线的斜率存在，设直线的方程是，
联立，消去得
∵，∴，
设，
7分
………………10分
当且仅当时取等号， ………………11分
面积的最大值为． ………………12分