2025北师版高中数学必修第二册练习题--第6章　§5　5.1　直线与平面垂直（含解析）

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2025北师版高中数学必修第二册
§5　垂直关系
5.1　直线与平面垂直
课后训练巩固提升
A组
1.直线a和b分别在正方体ABCD-A1B1C1D1中的两个不同平面内,下列使a∥b成立的条件个数是(　　).
①a和b垂直于正方体的同一个平面;
②a和b在正方体两个相对的面内,且共面;
③a和b平行于同一条棱;
④a和b在正方体的两个面内,且与正方体的同一条棱垂直.
A.1 B.2
C.3 D.4
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1B1C1D1,则有(　　).
A.BB1⊥l
B.BB1∥l
C.BB1与l异面
D.BB1与l相交但不垂直
3.如图,PA⊥平面ABC,在△ABC中,BC⊥AC,则图中直角三角形有(　　).
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个
4.如图,点A∈α,点B∈α,点P α,PB⊥α,C是α内异于A和B的动点,且PC⊥AC,则动点C在平面α内的轨迹是(　　).
A.一条线段,但要去掉两个点
B.一个圆,但要去掉两个点
C.两条平行直线
D.半圆弧,但要去掉两个点
5.如图,AB是☉O的直径,PA⊥☉O所在的平面,C为圆周上一点,AB=5 cm,AC=2 cm,则点B到平面PAC的距离为　　　　　.
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则BE与底面ABCD所成角的正弦值为　　　　　.
7.如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a的值为　　　　　.
8.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=CC1,M,N分别是A1B,B1C1的中点.
(1)求证:MN⊥平面A1BC;
(2)求直线BC1与平面A1BC的夹角的大小.
B组
1.如图①,在正方形SG1G2G3中,E,F分别是边G1G2,G2G3的中点,D是EF的中点,现沿SE,SF及EF把这个正方形折成一个几何体(如图②,使G1,G2,G3三点重合于一点G),则下列结论中正确的是(　　).
A.SG⊥平面EFG
B.SD⊥平面EFG
C.GF⊥平面SEF
D.GD⊥平面SEF
2.(多选题)如图,在四棱锥E-ABCD中,△CDE是边长为2的正三角形,N为正方形ABCD的中心,M为DE的中点,BC⊥DE,则下列结论正确的是(　　).
A.直线BM与EN是异面直线
B.线段BM与EN的长度不相等
C.直线DE⊥平面ACM
D.直线EA与平面ABCD的夹角的正弦值为
3.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,侧面AA1D1D为正方形,E为棱CD上任意一点,则(　　).
A.AD1⊥B1E
B.AD1∥B1E
C.AD1与B1E共面
D.以上都不对
4.如图,已知△ABC的三条边长分别是5,12,13,若点P到三点的距离都等于7,则点P到平面ABC的距离为　　　　　.
5.如图,在三棱锥O-ABC中,底面为正三角形,各侧棱长相等,P,Q分别为AB,OB的中点,PQ⊥CQ,则=　　　　　.
6.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面是边长为2的菱形,且∠ABC=45°, PA=AB,则直线AP与平面PBC的夹角的正切值为　　　　　.
7.如图,△ABC是等边三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2a,CD=a,F是BE的中点,求证:
(1)DF∥平面ABC;
(2)AF⊥BD.
答案：
A组
1.C　①②③一定能使a∥b成立,④不一定使a∥b成立,例如在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥AB,BC⊥AB,显然AA1与BC不平行.
2.B　在正方体ABCD-A1B1C1D1中,显然有BB1⊥平面A1B1C1D1,又l⊥平面A1B1C1D1,直线l与直线BB1不重合,所以BB1∥l,故选B.
3.A　因为PA⊥平面ABC,
所以PA⊥AC,PA⊥BC,PA⊥AB.
因为BC⊥AC,AC∩PA=A,
所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC,
所以△PAC,△PAB,△ABC,△PBC均是直角三角形.故选A.
4.B　连接BC,AB(图略),因为PC⊥AC,PB⊥AC,PB∩PC=P,所以AC⊥平面PBC.
所以AC⊥BC.说明动点C在以AB为直径的圆上,但不与点A,B重合.
5. cm　如图,连接BC.因为C为圆周上的一点,AB为直径,
所以BC⊥AC.
又因为PA⊥☉O所在的平面,BC ☉O所在的平面,所以PA⊥BC.
又因为PA∩AC=A,
所以BC⊥平面PAC,C为垂足,
所以BC即为点B到平面PAC的距离.
在Rt△ABC中,
BC=(cm).
6.　如图,取CD的中点F,连接EF,BF,易证EF⊥底面ABCD,
所以BE与底面ABCD的夹角为∠EBF.
设AB=2,则BF=,EF=2,BE=3,故sin∠EBF=.
7.2　∵PA⊥平面ABCD,且QD 平面ABCD,
∴PA⊥QD.
又PQ⊥QD,且PA∩PQ=P,∴QD⊥平面PAQ.
∵AQ 平面PAQ,
∴AQ⊥QD,即点Q在以AD为直径的圆上.
当圆与BC相切时,点Q只有一个,故BC=a=2AB=2.
8.(1)证明 如图所示,由已知BC⊥AC,BC⊥CC1,AC∩CC1=C,AC 平面ACC1A1,CC1 平面ACC1A1,
得BC⊥平面ACC1A1.连接AC1,则BC⊥AC1.
因为侧面ACC1A1是正方形,所以A1C⊥AC1.
又BC∩A1C=C,BC,A1C 平面A1BC,
所以AC1⊥平面A1BC.
因为侧面ABB1A1是矩形,M是A1B的中点,连接AB1,所以AB1经过点M,且M是AB1的中点.
又N是B1C1的中点,所以MN是△AB1C1的中位线.所以MN∥AC1.故MN⊥平面A1BC.
(2)解 由(1)知AC1⊥平面A1BC.
设AC1与A1C相交于点D,连接BD,
则∠C1BD即为直线BC1与平面A1BC的夹角.
设AC=BC=CC1=a,则C1D=a,BC1=a.
在Rt△BDC1中,sin∠C1BD=,
所以∠C1BD=30°,
故直线BC1与平面A1BC的夹角为30°.
B组
1.A　由题意得,折叠后SG,EG,FG两两互相垂直,根据线面垂直的判定定理知SG⊥平面EFG,故A正确.设正方形的边长为2a,则DG=a,SD=a,
∵SG2≠DG2+SD2,∴SD与DG不垂直,故B,D不正确;∵SG⊥GF,∴GF与SF不垂直,故C不正确.
2.BD　对于A,连接BD,易知BM 平面BDE,EN 平面BDE,
∴直线BM和EN共面,故A错误.
对于B,如图,设CD的中点为F,连接EF,FN,则EF⊥CD.
∵BC⊥CD,BC⊥DE,CD∩DE=D,∴BC⊥平面CDE,∴BC⊥EF,BC⊥CM.
又EF⊥CD,BC∩CD=C,∴EF⊥平面ABCD.
又FN 平面ABCD,∴EF⊥FN.
∵F,N分别为CD,BD的中点,∴FN=BC=1.
又EF=,CM=,∴EN==2,BM=,BM≠EN,故B正确.
对于C,∵BC⊥平面CDE,∴AD⊥平面CDE,
∴AD⊥DE,∴DE⊥AM不成立,∴直线DE⊥平面ACM不成立,故C错误.
对于D,∵EF⊥平面ABCD,∴EA与平面ABCD的夹角为∠EAF,
∴sin∠EAF=,故D正确.
3.A　连接A1D,则由正方形的性质,知AD1⊥A1D.
因为B1A1⊥平面AA1D1D,所以B1A1⊥AD1,
又A1D∩B1A1=A1,所以AD1⊥平面A1B1ED.
又B1E 平面A1B1ED,所以AD1⊥B1E,故选A.
4.　由点P到三个顶点距离相等,可知P在△ABC的投影D为△ABC的外心.由题意知△ABC为直角三角形,∴点D在斜边AB上,连接PD,CD(图略),则点P到平面ABC的距离h=PD=.
5.　由题意,可知AO⊥CQ,又易知AO⊥BC,所以AO⊥平面OBC,所以AO⊥BO.
又AO=BO,所以.
6.　如图,作AE⊥BC于点E,则BC⊥平面PAE,可知点A在平面PBC上的投影在直线PE上,故∠APE即为所求的角.在Rt△ABE中,AE=ABsin 45°=,∴tan∠APE=.
7.证明 (1)如图,取AB的中点G,连接FG,CG.
因为F为BE的中点,
所以FG∥AE,FG=AE.
因为CD⊥平面ABC,AE⊥平面ABC,所以CD∥AE.
因为CD=AE,所以FG∥CD,FG=CD.
所以四边形CDFG是平行四边形,所以DF∥CG.
因为CG 平面ABC,DF 平面ABC,
所以DF∥平面ABC.
(2)在Rt△ABE中,AE=2a,AB=2a,F为BE的中点,所以AF⊥BE.
因为△ABC是等边三角形,
所以CG⊥AB,所以DF⊥AB.
因为FG∥CD,且CD⊥平面ABC,
所以FG⊥平面ABC.
又因为GC 平面ABC,所以FG⊥GC.
所以平行四边形CDFG为矩形.所以FG⊥DF.
因为FG∩AB=G,FG,AB 平面ABE,
所以DF⊥平面ABE.
因为AF 平面ABE,所以DF⊥AF.
因为BE∩DF=F,BE,DF 平面BDF,
所以AF⊥平面BDF.
又因为BD 平面BDF,所以AF⊥BD.
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