2025北师版高中数学必修第二册练习题--第6章　§5　5.2　平面与平面垂直（含解析）

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2025北师版高中数学必修第二册
5.2　平面与平面垂直
课后训练巩固提升
A组
1.在二面角α-l-β的棱l上任选一点O,若∠AOB是二面角α-l-β的平面角,则必须具有的条件是(　　).
A.AO⊥BO,AO α,BO β
B.AO⊥l,BO⊥l
C.AB⊥l,AO α,BO β
D.AO⊥l,BO⊥l,且AO α,BO β
2.(多选题)已知α,β是两个不同的平面,l是一条直线,则下列说法正确的是(　　).
A.若α∥β,l∥β,则l∥α
B.若l⊥α,l⊥β,则α∥β
C.若l⊥α,l∥β,则α⊥β
D.若α⊥β,l∥β,则l⊥α
3.如图,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上一点(不同于点A,B),PA=AC,则二面角P-BC-A的大小为(　　).
A.60° B.30°
C.45° D.15°
4.设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出如下说法:
①若α⊥β,α∩β=m,n α,n⊥m,则n⊥β;
②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;
③若α⊥β,m⊥β,m α,则m∥α;
④若α⊥β,m∥α,则m⊥β.
其中正确说法的个数为(　　).
A.1 B.2
C.3 D.4
5.已知三棱锥P-ABC的所有棱长相等,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论正确的是　　　　　.(填序号)
①BC∥平面PDF;
②DF⊥平面PAE;
③平面PDF⊥平面ABC;
④平面PAE⊥平面ABC.
6.如图,在四棱锥P ABCD中,PA⊥底面ABCD且底面各边都相等,M是PC上一点,当点M满足　　　　时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)
7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断平面A1C1B与平面BB1D1D是否垂直,并说明你的理由.
B组
1.如果直线l,m与平面α,β,γ满足l=β∩γ,l∥α,m α和m⊥γ,那么必有(　　).
A.α⊥γ,且l⊥m
B.α⊥γ,且m∥β
C.m∥β,且l⊥m
D.α∥β,且α⊥γ
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1-BD-A的平面角的正切值为(　　).
A. B.
C. D.
3.(多选题)如图,在三棱锥P-ABC中,能推出AP⊥BC的是(　　).
A.AP⊥PB,BC⊥PB
B.AP⊥PB,AP⊥PC
C.平面BCP⊥平面PAC,BC⊥PC
D.AP⊥平面PBC
4.(多选题)如图,AB为圆O的直径,点C在圆周上(异于点A,B),直线PA垂直于圆O所在的平面,M为PB的中点,下列结论正确的是(　　).
A.MO∥平面PAC
B.PA∥平面MOB
C.OC⊥平面PAC
D.平面PAC⊥平面PBC
5.如图,检查工件的相邻两个面是否垂直时,只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动,观察尺边是否和这个面密合就可以了,其原理是利用了　 .
6.如图,平面ABC⊥平面BDC,∠BAC=∠BDC=90°,且AB=AC=a,则AD=　　　　　.
7.如图,在直二面角α-l-β中,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,B∈β,BD⊥l,D为垂足,若AB=2,AC=BD=1,则CD的长为　　　　　.
8.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°.
(1)证明:平面ACC1A1⊥平面BB1C1C;
(2)设AB=A1B,AA1=2,求四棱锥A1-BB1C1C的高.
答案：
A组
1.D　2.BC
3.C　由题意,易知∠PCA是二面角P-BC-A的平面角.在Rt△PAC中,PA=AC,所以∠PCA=45°.
4.B　根据平面与平面垂直的性质知①正确;②中,α,β可能平行,也可能相交,故不正确;③中,若α⊥β,m⊥β,m α,则只可能有m∥α,故正确;④中,m与β的位置关系是m∥β或m β或m与β相交,故不正确.综上,可知正确命题的个数为2,故选B.
5.①②④　如图,
∵BC∥DF,∴BC∥平面PDF.故①正确.
由BC⊥PE,BC⊥AE,得BC⊥平面PAE.
故DF⊥平面PAE.
故②正确.
∵BC⊥平面PAE,且BC 平面ABC,
∴平面ABC⊥平面PAE.
故④正确.
点P在平面ABC的投影为△ABC的重心,设为O,平面PDF没有经过PO,故平面PDF不垂直于平面ABC,故③错误.
6.DM⊥PC(或BM⊥PC)　连接AC.因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD.因为四边形ABCD的各边相等,所以AC⊥BD.又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,即BD⊥PC.要使平面MBD⊥平面PCD,只需PC垂直于面MBD上的与BD相交的直线即可,所以可填DM⊥PC(或BM⊥PC).
7.解 平面A1C1B⊥平面BB1D1D.
理由如下:
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,BB1⊥平面A1B1C1D1,
∴BB1⊥A1C1.
又B1D1∩BB1=B1,
∴A1C1⊥平面BB1D1D.
又A1C1 平面A1C1B,
∴平面A1C1B⊥平面BB1D1D.
B组
1.A　B错误,有可能m与β相交;C错误,有可能m与β相交;D错误,有可能α与β相交.
2.C　如图所示,连接AC交BD于点O,则O为BD中点,连接A1O.
∵A1D=A1B,∴在△A1BD中,A1O⊥BD.
又在正方形ABCD中,AC⊥BD,∴∠A1OA为二面角A1-BD-A的平面角.
设AA1=1,则AO=,
∴tan∠A1OA=.
3.BCD　对于A,AP⊥PB,BC⊥PB,不能推出AP⊥BC.
对于B,AP⊥PB,AP⊥PC,PB∩PC=P,则AP⊥平面PBC,∴AP⊥BC.
对于C,平面BCP⊥平面PAC,平面BCP∩平面PAC=PC,BC⊥PC,
∴BC⊥平面PAC,∴AP⊥BC.
对于D,AP⊥平面PBC,∴AP⊥BC.
故选BCD.
4.AD　因为AB为圆O的直径,M为PB的中点,所以OM∥PA.又OM 平面PAC,PA 平面PAC,所以MO∥平面PAC.故A正确.
因为PA 平面PAB,所以PA 平面MOB,故B错误.
因为点C在圆O的圆周上,所以AC⊥BC,故OC不与AC垂直,所以OC不可能与平面PAC垂直,故C错误.
因为直线PA垂直于圆O所在的平面,所以PA⊥BC.
又AC⊥BC,AC∩PA=A,AC 平面PAC,PA 平面PAC,所以BC⊥平面PAC,
又BC 平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC,故D正确.
5.面面垂直的判定定理　如图所示,OA为曲尺紧靠在工件的一个面上的一边,因为OA⊥OB,OA⊥OC,OB β,OC β,且OB∩OC=O,
所以根据线面垂直的判定定理,可得OA⊥β,
又OA α,根据面面垂直的判定定理,可得α⊥β.
6.a　如图,取BC的中点M,连接AM,MD,则AM⊥BC.
由题意得AM⊥平面BDC,
∴△AMD为直角三角形.
又AM=MD=a,∴AD=a×=a.
7.　如图,连接BC.
∵二角面α-l-β为直二面角,AC α,且AC⊥l,
∴AC⊥β.
又BC β,∴AC⊥BC.∴BC2=AB2-AC2=3,
又BD⊥CD,∴CD=.
8.(1)证明 ∵A1C⊥平面ABC,BC 平面ABC,
∴A1C⊥BC.
∵∠ACB=90°,∴BC⊥CA.
∵A1C∩CA=C,A1C,CA 平面ACC1A1,
∴BC⊥平面ACC1A1.
∵BC 平面BB1C1C,
∴平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.
(2)解 平面ACC1A1⊥平面BB1C1C,且这两个平面的交线为CC1,如图,过A1作A1D⊥CC1,垂足为点D,则A1D⊥平面BB1C1C.
∴四棱锥A1-BB1C1C的高为A1D.
∵BC⊥CA,BC⊥CA1,AB=A1B,BC=BC,
∴Rt△BCA≌Rt△BCA1.
∴CA=CA1.
在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形ACC1A1为平行四边形,
有AC=A1C1,∠ACA1=∠C1A1C=90°,CC1=AA1=2,
则△CA1C1为等腰直角三角形,且底边CC1=2,
∴A1D=CC1=1.
即四棱锥A1-BB1C1C的高为1.
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