2025北师版高中数学必修第二册练习题--第6章　§6　6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积（含解析）

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2025北师版高中数学必修第二册
§6　简单几何体的再认识
6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积
课后训练巩固提升
A组
1.若圆台的上、下底面半径分别是1,3,它的侧面积是两底面面积和的2倍,则圆台的母线长是(　　).
A.2 B.2.5
C.5 D.10
2.如果圆柱的底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是(　　).
A.4πS B.2πS
C.πS D.πS
3.已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是(　　).
A. B.
C. D.
4.在《九章算术》中,将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.已知四棱锥P-ABCD为阳马,底面ABCD是边长为2的正方形,有两条侧棱长为3,则该阳马的表面积为(　　).
A.10+2 B.10+2
C.6+2 D.6+2
5.已知圆锥的侧面展开图是半径为R的半圆,则圆锥的高是　　　　　.
6.用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住,不将纸撕开,则所需纸的最小面积是　　　　　.
7.如图,圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4,母线长为10,则圆台的侧面积为　　　　　.
8.已知圆柱有一个内接长方体AC1,长方体的体对角线长是10 cm,圆柱的侧面展开平面图为矩形,此矩形的面积是100π cm2,求圆柱的底面半径和高.
9.已知一正三棱台ABC-A1B1C1的两底面边长分别为30 cm和20 cm,且其侧面积等于两底面面积的和,求棱台的高.
B组
1.已知底面为正方形的直棱柱,它的底面对角线长为,直棱柱的体对角线长为,则这个棱柱的侧面积是(　　).
A.2 B.4
C.6 D.8
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积的比为(　　).
A.1∶1 B.1∶
C.1∶ D.1∶2
3.某正四棱锥的侧棱与底面的夹角为45°,则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积比值为(　　).
A. B.
C. D.
4.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,将该正方体沿对角面BB1D1D切成两块,再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱,则所得四棱柱的表面积为　　　　　　　.
5.已知正四棱台的上、下两底面边长分别是方程x2-9x+18=0的两根,其侧面积等于两底面积之和,则其侧面梯形的高为　　　　　.
6.如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥平面ABC,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=1,SB=2.求三棱锥S-ABC的表面积.
7.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=4,M为AA1的中点,P是BC上一点,且由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短距离为,设这条最短路线与CC1的交点为N,求:
(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长;
(2)PC与NC的长;
(3)此棱柱的表面积.
答案：
A组
1.C　S侧=π(r1+r2)l=2(π+π),∴l==5.
2.A　设底面半径为r,则S=πr2,从而r=,
∴底面周长为2πr=2π.
又侧面展开图为一个正方形,∴母线长为2πr.
∴S侧=2πr·l=(2πr)2==4π2=4πS.
3.A　设圆柱的底面半径为r,高为h,
则由题设知h=2πr,
∴S表=2πr2+2πr·h=2πr2(1+2π).
又S侧=2πr·h=4π2r2,
∴.
4.B　如图,由题意,可知PB=PD=3,AB=BC=CD=AD=2,PA⊥平面ABCD,
因为PA=,
所以表面积S=2S△PAB+2S△PBC+S正方形ABCD=2××2+2××2×3+22=10+2.
5.R　设圆锥的底面半径是r,则2πr=πR,
∴r=,∴圆锥的高h=R.
6.8　图①为棱长为1的正方体礼品盒,先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形,再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形,如图②所示,由图知正方形的边长为2,其面积为8.
7.100π　设圆台的上底半径为r,则下底半径为4r,高为4r.
由母线长为10可得=5r=10,解得r=2.
故圆台的上、下底面半径和高分别为2,8,8.
所以圆台的侧面积为π(2+8)×10=100π.
8.解 设圆柱的底面半径为r cm,高为h cm,如图所示,则圆柱轴截面矩形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长,
所以
解得
即圆柱的底面半径为5 cm,高为10 cm.
9.解 如图,在正三棱台ABC-A1B1C1中,O,O1分别为两底面的中心,D,D1是BC,B1C1的中点,连接O1O,OD,O1D1,DD1,
则DD1为棱台的斜高.
由A1B1=20,AB=30,得OD=5,O1D1=.
由S侧=S上+S下,得×(60+90)·DD1=×(202+302).所以DD1=.
在直角梯形O1ODD1中,O1O==4,
即棱台的高为4 cm.
B组
1.D　由已知得底面边长为1,侧棱长为=2.
因此,S侧=1×2×4=8.
2.C　如图,三棱锥D1-AB1C的各面均是正三角形,其边长为正方体的面对角线.
(第2题)
设正方体的棱长为a,则面对角线长为a,S三棱锥=4×a)2×=2a2,S正方体=6a2,
故S三棱锥∶S正方体=1∶.
3.D　如图,PO为正四棱锥P-ABCD的高,
设底面边长为a,则底面积S1=a2,
因为正四棱锥的侧棱与底面的夹角为45°,所以∠PAO=45°.
又AO=a,
所以PA=a=a,所以△PAB是正三角形,面积S2=a2,所以.
4.(4+2)a2　由题意可知,组成的棱柱是直四棱柱,且满足条件的直四棱柱只有一种,即组成新的四棱柱的表面积是由原来的正方体中的四个相同的正方形的面积和两个对角面的面积组成的.四棱柱的表面积等于侧面积与两个底面面积之和,故所得的四棱柱的表面积为4a2+a·a·2=(4+2)a2.
5.　方程x2-9x+18=0的两个根为x1=3,x2=6.
设侧面梯形的高为h',则(3×4+6×4)·h'=32+62,解得h'=.
6.解 ∵SA⊥平面ABC,BC 平面ABC,∴SA⊥BC.
∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC.又SA∩AC=A,SA,AC 平面SAC,∴BC⊥平面SAC.
∵SC 平面SAC,
∴SC⊥BC.∴三棱锥S-ABC的四个面都是直角三角形.
∵∠ABC=30°,AC=1,
∴在Rt△ABC中,AB=2,BC=,
于是在Rt△SCB中,SC==3,
在Rt△SAB中,SA==2.
∴S△SBC=SC·BC=,
S△ABC=AC·BC=,
S△SAB=SA·AB=2,
S△SAC=SA·AC=.
∴三棱锥的表面积S三棱锥表=S△ABC+S△SBC+S△SAB+S△SAC=2+3.
7.解 (1)正三棱柱ABC-A1B1C1侧面展开图是一个长为9,宽为4的矩形,其对角线长为.
(2)如图,将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上,点P移动到点P1的位置,连接MP1,则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线.设PC=x,即P1C=x.由题意知MA=2.在Rt△MAP1中,由勾股定理,得(3+x)2+22=29,解得x=2,∴PC=P1C=2.∵,∴NC=.
(3)棱柱的表面积S=S侧+2S底=9×4+2××32=.
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