2025北师版高中数学必修第二册练习题--第6章　§6　6.3　球的表面积和体积（含解析）

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2025北师版高中数学必修第二册
6.3　球的表面积和体积
课后训练巩固提升
A组
1.两个半径为1的铁球,熔化成一个大球,这个大球的半径为(　　).
A.2 B.
C. D.
2.等体积的球和正方体的表面积S球面与S正方体表的大小关系是(　　).
A.S正方体表>S球面
B.S正方体表C.S正方体表=S球面
D.无法确定
3.阿基米德是伟大的古希腊数学家,他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家,他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理,即圆柱容器里放了一个球,该球顶天立地,四周碰边(即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切),球的体积是圆柱体积的三分之二,球的表面积也是圆柱表面积的三分之二.今有一“圆柱容球”模型,其圆柱表面积为24π,则该模型中球的体积为(　　).
A.π B.4π
C.8π D.π
4.正方体的内切球与其外接球的体积之比为(　　).
A.1∶ B.1∶3
C.1∶3 D.1∶9
5.一平面截一球得到直径是6 cm的圆面,球心到这个圆面的距离是4 cm,则该球的体积是(　　).
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
6.如图,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点,将△ADE与△BEC分别沿ED,EC向上折起,使A,B重合于点P,则三棱锥P-DCE的外接球的体积为(　　).
A. B.
C. D.
7.已知正方体的体对角线长等于2 cm,它的顶点中有4个在半球O的底面上,另外4个在半球O的表面上,那么半球O的体积为　　　　　 cm3.(结果保留π)
8.某组合体的直观图如图,它的中间为圆柱体,左右两端均为半球体,若图中r=1,l=3,试求该组合体的表面积和体积.
B组
1.在一个倒置的正三棱锥容器内,放入一个钢球,钢球恰好与棱锥的四个面都接触,经过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的截面图形是(　　).
2.设三棱锥P-ABC的侧棱PA,PB,PC两两垂直,且长度分别为2,3,1,如图,若点P,A,B,C都在同一个球面上,则该球的表面积为(　　).
A.49π B.196π
C.14π D.28π
3.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球,则该球的体积为(　　).
A. B.
C. D.
4.若过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比值为(　　).
A. B.
C. D.
5.已知一所有棱长都相等的三棱锥的内切球的体积是1,则该三棱锥的外接球的体积是(　　).
A.27 B.16
C.9 D.3
6.如图,在半径为2的半球内有一个内接正六棱锥P-ABCDEF,则此正六棱锥的侧面积是　　　　　.
7.圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相等)后,水恰好淹没最上面的球,如图,则球的半径是　　　　　 cm.
8.轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球,若圆锥的底面半径为1 cm,求球的体积.
9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=6,BC=8,AA1=6.
(1)求三棱锥D1-ABC的体积;
(2)在三棱柱ABC-A1B1C1内放一个体积为V的球,求V的最大值.
答案：
A组
1.C　设熔化后的球的半径为R,则其体积是原来小球的体积的2倍,
即V=πR3=2×π×13,得R=.
2.A　设正方体的棱长为a,球的半径为R,由题意,得V=πR3=a3,∴a=,R=,
∴S正方体表=6a2=6,S球面=4πR2=.
3.A　由题可知球的表面积为圆柱表面积的三分之二,
设球的半径为R,则S=×24π=16π=4πR2,∴R=2,∴V=πR3=π.
4.C　设正方体的棱长为a,则它的内切球的半径为a,它的外接球的半径为a,故所求的比为1∶3.
5.C　根据球的截面的性质,得球的半径R==5(cm),所以V球=πR3=(cm3).
6.C　折起后的几何体是一个所有棱长都为1的三棱锥P-CDE,该三棱锥可以看作由棱长为的正方体的六个面的对角线围成,则该正方体的体对角线长等于三棱锥P-DCE外接球的直径.
我们容易求得该三棱锥外接球的半径为,所以外接球的体积V=.
7.4π　设此正方体为ABCD-A1B1C1D1,过正方体的体对角线A1C作截面,如图所示.
设半球O的半径为R.由题意知A1C=2 cm.又AC2+A=A1C2,其中AC=AA1,
∴3A=12,∴A1A=2 cm,AC=2 cm.
连接A1O,则A1O=R=(cm).
∴半球O的体积V=πR3=π×()3=4π(cm3).
8.解 该组合体的表面积S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π,
该组合体的体积V=πr3+πr2l=π×13+π×12×3=.
B组
1.B　正三棱锥的内切球球心在高线上,与侧面有公共点,与侧棱无公共点.故选B.
2.C　以PA,PB,PC为棱构造一个长方体,这个球就是长方体的外接球,所以该球半径R=.所以该球的表面积S=4πR2=4π×=14π.故选C.
3.A　由题意知,此球是正方体的内切球,根据其几何特征知,此球的直径与正方体的棱长是相等的,故可得球的直径为2,从而球的半径为1,体积是×π×13=.
4.A　设球的半径为R,所得的截面为圆面M,圆面M的半径为r,则R2=R2+r2,∴R2=r2.∴截面圆M的面积为πr2=πR2.
又S球=4πR2,∴所得截面的面积与球的表面积的比值为.故选A.
5.A　设三棱锥的外接球、内切球的半径分别为R,r,三棱锥的棱长为a,则三棱锥的高为a.由等体积法可得4×a2×r=a2×a,则r=a.该三棱锥可以看作由棱长为a的正方体的六个面的对角线围成,则正方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径,则R=a.因此,=3.由题意知πr3=1,则外接球的体积是πR3=27×πr3=27,故选A.
6.6　显然正六棱锥P-ABCDEF的底面的外接圆是球的一个大圆,由已知得大圆的半径为2.易得其内接正六边形的边长为2.又正六棱锥P-ABCDEF的高为2,所以斜高为,所以该正六棱锥的侧面积为6××2×=6.
7.4　设球的半径为r,则放入球后,水面高为6r,从而球与水的体积为πr2×6r=6πr3,水的体积为8πr2,3个球的体积之和为3×πr3=4πr3,由题意得6πr3-8πr2=4πr3,解得r=4 cm.
8.解 如右图所示,作出轴截面图,
(第8题)
O是球心,与边BC,AC相切于点D,E.连接AD,OE,设☉O的半径为r,则OD=OE=r.
∵△ABC是正三角形,∴CD=AC,AD=AC.
∵Rt△AOE∽Rt△ACD,∴.
∵CD=1 cm,∴AC=2 cm,从而可得AD= cm.
∴AO=(-r) cm.∴,解得r= cm.
∴V球=π(cm3),
即内切球的体积等于π cm3.
9.解 (1)如图,由长方体的几何特征知,点D1到平面ABC的距离为DD1=AA1=6,
又S△ABC=AB·BC=24,所以S△ABC·DD1=×24×6=48.
(2)设球的半径为R,若该球与三棱柱ABC-A1B1C1的三个侧面均相切,则R等于△ABC的内切圆的半径,所以R(AB+AC+BC)=24,又AB+AC+BC=6+10+8=24,此时R=2.若该球与三棱柱ABC-A1B1C1的上下底面均相切,此时2R=AA1=6,R=3.
所以在三棱柱ABC-A1B1C1内放一个体积为V的球,该球半径最大为2,Vmax=π×23=.
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