2025北师版高中数学必修第二册练习题--第6章测评（含解析）

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2025北师版高中数学必修第二册
第六章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形,如图,则原来的图形是(　　).
2.已知BD1是正方体ABCD-A1B1C1D1的一条体对角线,则这个正方体中面对角线与BD1异面的有(　　).
A.0条 B.4条
C.6条 D.12条
3.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC上的投影为BC的中点,则异面直线AB与CC1的夹角的余弦值为(　　).
A. B.
C. D.
4.已知△ABC为等腰直角三角形,AB为斜边,△ABD为等边三角形,若二面角C-AB-D的平面角为150°,则直线CD与平面ABC所成角的正切值为(　　).
A. B.
C. D.
5.已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5,菱形的对角线的长分别是9和15,则这个棱柱的侧面积是(　　).
A.30 B.60
C.30+135 D.135
6.已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l α,l β,则(　　).
A.α∥β,且l∥α
B.α⊥β,且l⊥β
C.α与β相交,且交线垂直于l
D.α与β相交,且交线平行于l
7.如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,矩形对角线交点为O,M为PB的中点,给出五个结论:①OM∥PD;②OM∥平面PCD;③OM∥平面PDA;④OM∥平面PBA;⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数是(　　).
A.1 B.2
C.3 D.4
8.已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形,PC=PD=3,∠PCA=45°,则△PBC的面积为(　　).
A.2 B.3
C.4 D.6
二、选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.若m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法正确的是(　　).
A.若α∥β,m α,则m∥β
B.若α⊥β,m⊥α,则m∥β
C.若m∥n,m⊥α,则n⊥α
D.若m⊥n,m∥α,则n∥α
10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列结论正确的是(　　).
A.直线A1C1与AD1为异面直线
B.A1C1∥平面ACD1
C.直线BD1与AC为异面直线
D.BC∥平面ACD1
11.已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径,∠APB=120°,PA=2,点C在底面圆周上,且二面角P-AC-O的平面角为45°,则(　　).
A.该圆锥的体积为π
B.该圆锥的侧面积为4π
C.AC=2
D.△PAC的面积为
12.如图①,在边长为2的正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,M是AD上靠近A的四等分点.现将△AED,△DCF分别沿DE,DF折起,使A,C两点重合于点P,连接PB,如图②,则下列结论正确的是(　　).
　 ①　　　　　　　　②
A.PB∥平面EFM
B.PD⊥PB
C.二面角M-EF-D的平面角的余弦值为
D.点P到平面BFDE的距离为
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)
13.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,侧面对角线AB1,BC1上分别有一点E,F,且B1E=C1F,则直线EF与平面ABCD的位置关系是　　　　　.
14.在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,△ABC是边长为6的等边三角形,△PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形,则该三棱锥外接球的表面积为　　　　　.
15.已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与圆锥底面的夹角为30°,若△SAB的面积为8,则该圆锥的体积为　　　　　.
16.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论:
①AC⊥BD;②△ACD是等边三角形;③AB与平面BCD成60°的角;④AB与CD的夹角是60°.
其中正确的是　　　　　.(填序号)
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)如图,四边形BCC1B1是圆柱的轴截面.AA1是圆柱的一条母线,已知AB=2,AC=2,AA1=3.
(1)求证:AC⊥BA1;
(2)求圆柱的侧面积.
18.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,AD⊥CD,AB∥CD,CD=2AB.
(1)求证:平面PAB⊥平面PAD.
(2)在侧棱PC上是否存在点M,使得BM∥平面PAD 若存在,确定点M位置;若不存在,说明理由.
19.(12分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.
(1)求证:BC1∥平面A1CD;
(2)设AA1=AC=CB=2,AB=2,求三棱锥C-A1DE的体积.
20.(12分)已知圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm,它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°,那么圆台的表面积是多少
21.(12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,AA1=2,点A1到平面BCC1B1的距离为1.
(1)证明:A1C=AC;
(2)已知AA1与BB1距离为2,求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值.
22.(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AC=2,BC=,∠BAC=60°,D为PA的中点,E为CD的中点,点F在棱PB上,PF=3FB.
(1)求证:EF∥平面ABC;
(2)求二面角B-CD-A的平面角的正弦值.
答案：
1.A　由直观图可知,正方形的对角线长为,所以原图形为平行四边形,在y轴上的对角线长为2.故选A.
2.C　每个面中都有一条对角线与BD1异面,它们是AC,A1C1,B1C,A1D,AB1,DC1.
3.B　如图,取BC的中点D,连接A1D,AD,A1B,
则A1D⊥平面ABC.
易知∠A1AB或其补角即为异面直线AB与CC1所成的角.
设三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长均为1,
则AD=,从而A1D=,A1B=.由余弦定理,得cos∠A1AB=.
故选B.
4.C　如图,取AB的中点O,连接OC,OD,则由题可知∠DOC为二面角C-AB-D的平面角,∴∠DOC=150°.
设CA=CB=a,
则OC=AB=a.
∵△ABD是等边三角形,
∴OD⊥AB,且OD=AB=a.
在△DOC中,由余弦定理,得CD2=OC2+OD2-2OC·ODcos∠DOC=a2,∴CD=a.
过D作DH⊥平面ABC,垂足为H,易知点H在直线OC上,则∠DCH为直线CD与平面ABC所成的角,且∠DOH=30°,故DH=OD=a,
∴sin∠DCH=,则cos∠DCH=,∴tan∠DCH=.故选C.
5.A　由菱形的对角线长分别是9和15,得菱形的边长为,则这个直棱柱的侧面积为4××5=30.
6.D　由于m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,则平面α与平面β必相交,但未必垂直,且交线垂直于直线m,n,又直线l满足l⊥m,l⊥n,所以交线平行于l,故选D.
7.C　显然OM∥PD,又PD 平面PCD,PD 平面PDA,OM 平面PCD,OM 平面PDA,∴OM∥平面PCD,OM∥平面PDA.故①②③正确.
8.C　在四棱锥P-ABCD中,由PC=PD=3,得△CDP是等腰三角形.
设CD的中点为E,AB的中点为F,
由几何知识得,△CDP关于PE对称,点P在平面PEF内,且PA=PB.
在正方形ABCD中,AB=BC=CD=AD=4,
由勾股定理,得AC==4.
在△ACP中,∠PCA=45°,由余弦定理,得PA2=PC2+AC2-2AC·PC·cos∠PCA,解得PA=,
∴PB=PA=.在△BCP中,由余弦定理,得PB2=PC2+BC2-2PC·BC·cos∠BCP,解得cos∠BCP=,∴sin∠BCP=.
∴S△PBC=BC·PC·sin∠BCP=4.故选C.
9.AC　对于A,由面面平行的性质:两平面平行,在一平面内的任意直线与另一平面平行,而α∥β,m α,故m∥β,故A正确.
对于B,α⊥β,m⊥α,此时m有可能在平面β内,故不能得到m∥β,故B错误.
对于C,由于m∥n,则n可经平移到与m重合的位置,而平移不改变直线与平面是否垂直,m⊥α,故n⊥α,故C正确.
对于D,当m∥α时,过m上一点作直线n⊥α,此时m⊥n,不能得到n∥α,故D错误.
10.ABC　直线A1C1与AD1,直线BD1与AC不同在任何一个平面内,满足异面直线的定义,所以A,C正确.
由正方体的结构特征可知,AA1∥CC1,且AA1=CC1,
所以四边形AA1C1C为平行四边形,所以A1C1∥AC.又A1C1 平面ACD1,AC 平面ACD1,所以A1C1∥平面ACD1,故B正确.
由于BC与面ACD1相交,故D错误.
11.AC　由题意,可得PO⊥平面AOC,∠APO=∠APB=60°,所以PO=PAcos∠APO=1, AO=PAsin∠APO=.如图,取AC的中点D,连接PD,OD,则PD⊥AC,OD⊥AC,
所以∠PDO即为二面角P-AC-O的平面角,所以∠PDO=45°.
因为OD 平面AOC,PO⊥平面AOC,所以PO⊥OD,所以△PDO为等腰直角三角形,
所以OD=PO=1,PD=.
对于A,圆锥的体积V=π×()2×1=π,故A正确;对于B,圆锥的侧面积S=π××2=2π,故B不正确;对于C,AC=2=2,故C正确;对于D,S△PAC=×AC×PD=×2=2,故D不正确.故选AC.
12.ACD　如图,连接BD与EF相交于点G,
则,所以MG∥PB,所以PB∥平面EFM,故A正确.
由PD⊥PE,PD⊥PF,PE∩PF=P,知PD⊥平面PEF,又PB∩平面PEF=P,故PD与PB不垂直,故B错误.
二面角M-EF-D的平面角即为∠MGD,
在△MGD中,GD=,MD=,MG=,
由余弦定理得cos∠MGD=,故C正确.
由cos∠MGD=,知sin∠MGD=,作MN⊥BD,则点P到平面BFDE的距离等于点M到平面BFDE的距离的,又MN=MG·sin∠MGD=,故D正确.
13.平行　如图,过点E作EG∥AB,交BB1于点G,连接GF,则,EG∥平面ABCD.
∵B1E=C1F,B1A=C1B,
∴,∴FG∥B1C1∥BC.
∴FG∥平面ABCD.又EG∩FG=G,EG,FG 平面EFG,∴平面EFG∥平面ABCD.
又EF 平面EFG,∴EF∥平面ABCD.
14.48π　如图,在等边三角形ABC中,取AB的中点F,设等边三角形ABC的中心为O,连接PF,CF,OP,OA,OB.
由AB=6,得AO=BO=CO=CF=2,OF=,
∵△PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形,
∴PF⊥AB,PF=3.
又平面PAB⊥平面ABC,
∴PF⊥平面ABC.
∴PF⊥OF.∴在Rt△PFO中,OP==2.∴O为棱锥P-ABC的外接球球心,外接球半径R=OC=2.
∴该三棱锥外接球的表面积为4π×(2)2=48π.
15.8π　如右图所示,∠SAO=30°,∠ASB=90°,
又S△SAB=SA·SB=SA2=8,解得SA=4,所以SO=SA=2,AO==2.
所以该圆锥的体积V=·π·OA2·SO=8π.
16.①②④　如图所示,对于①,取BD的中点E,连接AE,CE,
则BD⊥AE,BD⊥CE,而AE∩CE=E,
∴BD⊥平面AEC.又AC 平面AEC,∴AC⊥BD,故①正确;
对于②,设正方形的边长为a,则AE=CE=a.
由①知∠AEC是直二面角A-BD-C的平面角,
∴∠AEC=90°,∴AC=a,
∴△ACD是等边三角形,故②正确;
对于③,由题意及①知,AE⊥平面BCD,
故∠ABE是AB与平面BCD所成的角,而∠ABE=45°,故③不正确;
对于④,分别取BC,AC的中点M,N,连接ME,NE,MN,设正方形ABCD的边长为a,则MN∥AB,且MN=AB=a,ME∥CD,且ME=CD=a,∴∠EMN或其补角是异面直线AB,CD的夹角.在Rt△AEC中,AE=CE=a,从而可得AC=a,∴NE=AC=a.
∴△MEN是正三角形,∴∠EMN=60°,故④正确.
17.(1)证明 依题意AB⊥AC.
因为AA1⊥平面ABC,AC 平面ABC,所以AA1⊥AC.
又因为AB∩AA1=A,AB,AA1 平面AA1B1B,
所以AC⊥平面AA1B1B.
因为BA1 平面AA1B1B,所以AC⊥BA1.
(2)解 在Rt△ABC中,AB=2,AC=2,∠BAC=90°,所以BC=2.所以S圆柱侧=2π×3=6π.
18.(1)证明 因为PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AB.
又AD⊥CD,AB∥CD,所以AD⊥AB.
又AD∩PD=D,AD,PD 平面PAD,所以AB⊥平面PAD.又AB 平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.
(2)解 当M为PC的中点时,BM∥平面PAD.
证明如下:如图,设PD的中点为N,连接MN,AN,
则MN为△PCD的中位线,所以MN∥CD,MN=CD.
由题意可知AB∥CD,CD=2AB,所以MN∥AB,MN=AB.
所以四边形ABMN为平行四边形,所以BM∥AN.
又BM 平面PAD,AN 平面PAD,
所以BM∥平面PAD.
19.(1)证明 如图,连接AC1交A1C于点F,则F为AC1的中点.
又D是AB的中点,连接DF,则BC1∥DF.因为DF 平面A1CD,BC1 平面A1CD,
所以BC1∥平面A1CD.
(2)解 因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥CD.因为AC=CB,D为AB的中点,所以CD⊥AB.
又AA1∩AB=A,AA1,AB 平面ABB1A1,所以CD⊥平面ABB1A1.
由AA1=AC=CB=2,AB=2,得∠ACB=90°,
从而CD=,AD=DB=,A1D=,DE=,A1E=3,故A1D2+DE2=A1E2,即DE⊥A1D.
所以·CD==1.
20.解 如图,设圆台的上底面周长为C.因为扇环的圆心角是180°,
所以C=π·SA=2π×10,
所以SA=20 cm,
同理可得SB=40 cm,
所以AB=SB-SA=20(cm),即圆台的母线长为20 cm.
所以S表面积=S侧+S上+S下=π(r1+r2)·AB+π+π=π(10+20)×20+π×102+π×202=1 100π(cm2).
故圆台的表面积为1 100π cm2.
21.(1)证明 ∵A1C⊥底面ABC,BC 平面ABC,
∴A1C⊥BC.∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC.
又A1C,AC 平面ACC1A1,∴BC⊥平面ACC1A1.
∵BC 平面BCC1B1,∴平面ACC1A1⊥平面BCC1B1.
如图,过点A1作A1O⊥CC1交CC1于点O,
又平面ACC1A1∩平面BCC1B1=CC1,∴A1O⊥平面BCC1B1.
∵点A1到平面BCC1B1的距离为1,∴A1O=1.
∵A1C⊥平面ABC,AC 平面ABC,∴A1C⊥AC.
又A1C1∥AC,∴A1C⊥A1C1.
又CC1=AA1=2,
设CO=x,则C1O=2-x,则A1=A1O2+C1O2=1+(2-x)2,A1C2=A1O2+CO2=1+x2,
∴A1+A1C2=C,即1+x2+1+(2-x)2=4,解得x=1,
∴A1C=,AC=,
故A1C=AC.
(2)解 连接BA1.
∵BC⊥A1C,BC⊥AC,∴在Rt△A1CB中,有A1C2+BC2=B,在Rt△ACB中,有AC2+BC2=AB2.又AC=A1C,∴AB=BA1.过点B作BD⊥AA1交AA1于点D,则D为AA1的中点,且BB1⊥BD,则BD即为直线AA1与BB1的距离,∴BD=2.
∴A1D=1,A1B=,
∴BC=,
∴AB1=,
易知点A到平面BCC1B1的距离d=1,
则AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为.
22.(1)证明 如图①,过点F作FM∥PA交AB于点M,取AC的中点N,连接MN,EN,
∵E为CD的中点,
∴EN∥AD,EN=AD.
又D为PA的中点,点F在棱PB上,PF=3FB,
∴FM=AD,FM∥AD,
∴FM∥EN,FM=EN,
∴四边形MFEN为平行四边形,
∴EF∥MN.又EF 平面ABC,MN 平面ABC,
∴EF∥平面ABC.
　　 ①　　　　　　②
(2)解 如图②,过点B作BH⊥AC,垂足为H,
由AC=2,BC=,∠BAC=60°,易知AB⊥BC.
∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC.
又AB∩PA=A,∴BC⊥平面PAB,∴BC⊥BD.
在Rt△DBC中,过点B作BO⊥CD,垂足为O,连接OH,
∵PA⊥平面ABC,BH 平面ABC,
∴BH⊥PA.
∵BH⊥AC,PA∩AC=A,
PA,PC 平面PAC,∴BH⊥平面PAC.
又CD 平面PAC,∴BH⊥CD.
又BO⊥CD,BO∩BH=B,BO,BH 平面BOH,
∴CD⊥平面BOH.
又OH 平面BOH,
∴OH⊥CD,∴∠BOH为所求二面角的平面角.
由等面积法可得BH=.
在Rt△BCD中,BC=,BD=,
CD=,
由等面积法得BO=,
∴sin∠BOH=.
故二面角B-CD-A的平面角的正弦值为.
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