2025北师版高中数学必修第二册练习题--复习课　第3课时　三角恒等变换（含解析）

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2025北师版高中数学必修第二册
第3课时　三角恒等变换
课后训练巩固提升
A组
1.在锐角三角形ABC中,设x=sin Asin B,y=cos Acos B,则x,y的大小关系为(　　).
A.x≤y B.x>y
C.x2.若tan θ=-,则cos 2θ=(　　).
A.- B.-
C. D.
3.4cos 50°-tan 40°=(　　).
A. B.
C. D.2-1
4.若点(θ,0)是函数f(x)=sin x+2cos x图象的一个对称中心,则cos 2θ+sin θcos θ=(　　).
A. B.-
C.1 D.-1
5.函数f(x)=sin x-cos的值域为(　　).
A.[-2,2] B.[-]
C.[-1,1] D.[-]
6.设α,β∈[0,π],且满足sin αcos β-cos αsin β=1,则sin(2α-β)+sin(α-2β)的取值范围为(　　).
A.[-,1] B.[-1,]
C.[-1,1] D.[1,]
7.计算:=　　　　　.
8.化简:=　　　　　.
9.已知函数f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+cos 4x.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间;
(2)若α∈(0,π),且f,求tan(α+)的值.
10.已知函数f(x)=cos(x+θ)为奇函数,且f=0,其中a∈R,θ∈(0,π).
(1)求a,θ的值;
(2)若α∈,fcos(α+)cos 2α=0,求cos α-sin α的值.
B组
1.sin -cos 的值是(　　).
A. B.
C.- D.sin
2.(多选题)已知函数f(x)=cos 2x-2sincos,则(　　).
A.f(x)的最大值为3
B.f(x)的最小正周期为π
C.f(x)的图象关于直线x=对称
D.f(x)在区间[-]上单调递减
3.已知cos α=-,α∈(-π,0),则tan(α-)=(　　).
A. B.7
C.- D.-7
4.已知向量a=(cos 2α,sin α),b=(1,2sin α-1),α∈,若a·b=,则tan=(　　).
A. B.
C. D.
5.已知sin 2α=,则的值为　　　　　.
6.化简=　 .
7.已知α∈,且sin+cos.
(1)求cos α的值;
(2)若sin(α-β)=-,β∈,求cos β的值.
8.已知函数f(x)=2cos2sin x.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域;
(2)若α为第二象限角,且f,求的值.
答案：
A组
1.B　x-y=sin Asin B-cos Acos B=-cos(A+B),∵△ABC是锐角三角形,∴∴-cos(A+B)>0,∴x>y.
2.D　cos 2θ=cos2θ-sin2θ==.
3.C　4cos 50°-tan 40°=
==
==.
4.D　∵点(θ,0)是函数f(x)=sin x+2cos x图象的一个对称中心,
∴sin θ+2cos θ=0,即tan θ=-2.
∴cos 2θ+sin θcos θ==-1.
5.B　因为f(x)=sin x-cos=sin x-cos x+sin x=sin x-cos x=sin,
所以f(x)的值域为[-].
6.C　∵sin αcos β-cos αsin β=1,∴sin(α-β)=1.
∵α,β∈[0,π],∴α-β∈[-π,π],
∴α-β=,由≤α≤π,
∴sin(2α-β)+sin(α-2β)=sin+sin(α-2α+π)=cos α+sin α=sin.
∵≤α≤π,∴≤α+,
∴-1≤sin≤1,即所求的取值范围是[-1,1],故选C.
7.　原式=tan(45°-15°)=.
8.2sin α　=2sin α.
9.解 (1)f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+cos 4x=cos 2xsin 2x+cos 4x=(sin 4x+cos 4x)=sin,
∴函数f(x)的最小正周期T=.
令2kπ+≤4x+≤2kπ+(k∈Z),
得≤x≤(k∈Z).
∴函数f(x)的单调递减区间为[](k∈Z).
(2)∵f,即sin=1.
∵α∈(0,π),-<α-,
∴α-,故α=.
因此tan=2-.
10.解 (1)因为f(x)=cos(x+θ)是奇函数,
所以f(x)=-f(-x),即cos(x+θ)=-cos(-x+θ),
化简、整理得,cos xcos θ=0,则有cos θ=0,
由θ∈(0,π),得θ=,
所以f(x)=-sin x.
由f=0,得-(a+1)=0,得a=-1.
(2)由(1)知f(x)=-sin 2x,
由fcoscos 2α=0,
得sincoscos 2α.
因为cos 2α=sin=sin=2sin(α+)cos,
所以sincos2sin.
所以sin=0或cos2.
又α∈,所以由sin=0,得α=,
因而cos α-sin α=cos-sin=-;
由cos2<α+,
得cos=-,
即(cos α-sin α)=-,
从而cos α-sin α=-.
综上,cos α-sin α=-或cos α-sin α=-.
B组
1.A　sin -cos =2(sin cos -cos ·sin )=2sin=2sin .
2.BC　f(x)=cos 2x-2sincos=cos 2x-2cos x·(-sin x)=cos 2x+2cos x·sin x=cos 2x+sin 2x=sin.
所以f(x)的最大值为,故A不正确.
f(x)的最小正周期为T==π,故B正确.
由2×+kπ,k∈Z,解得k=0,所以直线x=是f(x)的图象的对称轴,故C正确.
令+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)在区间[-,-]和[]上单调递减,在区间[-]上单调递增,故D不正确.故选BC.
3.C　∵cos α=-,α∈(-π,0),
∴α∈(-π,-),∴sin α=-,tan α=,
则tan=-.故选C.
4.C　a·b=cos 2α+sin α(2sin α-1)=cos 2α+2sin2α-sin α=1-2sin2α+2sin2α-sin α=1-sin α=,
∴sin α=.
∵α∈,∴cos α=-,∴tan α=-,
∴tan.
5.3　因为=3.
6.cos 2x　原式=cos 2x.
7.解 (1)因为sin+cos,
两边同时平方,整理得sin α=.
又<α<π,所以cos α=-=-.
(2)因为<α<π,<β<π,
所以-<α-β<.
又由sin(α-β)=-,得cos(α-β)=.
所以cos β=cos [α-(α-β)]
=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)
=-=-.
8.解 (1)因为f(x)=1+cos x-sin x=1+2cos,
所以函数f(x)的最小正周期为2π,值域为[-1,3].
(2)因为f,
所以1+2cos α=,得cos α=-.
又因为α为第二象限角,所以sin α=.
因为=,
所以,即所求值为.
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