2025北师版高中数学必修第二册练习题--复习课　第4课时　复数（含解析）

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2025北师版高中数学必修第二册
第4课时　复数
课后训练巩固提升
1.化简的结果是(　　).
A.2+i B.-2+i
C.2-i D.-2-i
2.在复平面内,复数z=i(1+2i)的共轭复数为(　　).
A.2-i B.-2-i
C.2+i D.-2+i
3.复数z=在复平面内对应的点位于(　　).
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.(多选题)已知复数z=,以下结论正确的是(　　).
A.z2 021是纯虚数
B.|z+i|=2
C.z·=-1
D.在复平面内,复数+z·i对应的点位于第三象限
5.记复数z的共轭复数为,若(1-i)=2i(i是虚数单位),则|z|=(　　).
A. B.1
C.2 D.2
6.已知复数z1=2-i,z2=m+i(m∈R),若z1z2为纯虚数,则z1z2=(　　).
A. B.-
C.-2i D.-2
7.设i为虚数单位,复数z满足(1+i)z=,则复数z的共轭复数的虚部为(　　).
A.i B.-i
C. D.-
8.方程z2-4|z|+3=0在复数集内解的个数为(　　).
A.4 B.5
C.6 D.8
9.设a,b为实数,若复数=1+i,则a=　　　　　,b=　　　　　.
10.设复数z=a+i(a∈R,i为虚数单位),若(1+i)·z为纯虚数,则a的值为　　　　　.
11.关于x的方程x2+5x+m=0有两个虚根x1,x2,且满足|x1-x2|=3,则实数m的值为　　　　　.
12.若复数z1,z2满足z1=m+(4-m2)i,z2=2cos θ+(λ+3sin θ)i(m,λ,θ∈R),并且z1=z2,则实数λ的取值范围是　　　　　.
13.已知复数z1=cos α+isin α,z2=cos β-isin β,且z1+i,求复数z1,z2.
答案：
1.C　=2-i.
2.B　∵复数z=i(1+2i)=-2+i,
∴复数z=i(1+2i)的共轭复数为-2-i.
3.D　由题可得z=,
则z=在复平面内对应的点为,位于第四象限.
4.ABD　z==i.
对于A,∵z2 021=i2 021=i4×505+1=i,∴z2 021为纯虚数,故A正确.
对于B,|z+i|=|2i|=2,故B正确.
对于C,z·=i·(-i)=-i2=1,故C错误.
对于D,∵+z·i=-i+i2=-1-i,∴+z·i对应的点为(-1,-1),位于第三象限,故D正确.
5.A　由(1-i)=2i,可得=-1+i,所以z=-1-i,|z|=,故选A.
6.A　因为z1z2为纯虚数,故得到z1z2=(2-i)·(m+i)=1+2m+(2-m)i,
由2m+1=0且2-m≠0,得m=-.
故z1z2=,故选A.
7.C　∵(1+i)z=(-+i)2=2-2i,
∴z==-1-i,
∴=-1+i,∴复数的虚部为.故选C.
8.C　令z=a+bi(a,b∈R),则a2-b2+2abi-4+3=0,得
当b=0时,a2-4|a|+3=0,a=±1或a=±3;
当a=0时,b2+4|b|-3=0,|b|=-2+或|b|=-2-(舍).
故共有6个解.
9.　由=1+i可得1+2i=(a-b)+(a+b)i,所以解得a=,b=.
10.1　∵(1+i)·z=(1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i为纯虚数,∴∴a=1.
11.　由题意知,Δ=52-4m<0,∴m>.
又32=|x1-x2|2=|(x1+x2)2-4x1x2|=|25-4m|,
∴25-4m=±9,解得m=4(舍去)或m=.
12.　由复数相等的充要条件可得化简得4-4cos2θ=λ+3sin θ,由此可得λ=-4cos2θ-3sin θ+4=-4(1-sin2θ)-3sin θ+4=4sin2θ-3sin θ=4.
因为sin θ∈[-1,1],
所以-≤4≤7.
故λ∈.
13.解 由z1+i,
得cos α+isin α+i,
∴cos α+isin α+cos β+isin β=i,
即(cos α+cos β)+i(sin α+sin β)=i.
∴
∴
∴cos2α+sin2α==1,
整理,得cos β=1-sin β,代入sin2β+cos2β=1,
可解得sin β=0或sin β=.
当sin β=0时,cos β=1,cos α=-,sin α=,
z1=-i,z2=1;
当sin β=时,cos β=-,cos α=1,sin α=0,
z1=1,z2=-i.
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