2025北师版高中数学必修第二册练习题--复习课　第5课时　立体几何初步（含解析）

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2025北师版高中数学必修第二册
第5课时　立体几何初步
课后训练巩固提升
A组
1.直线l与平面α不平行,则(　　).
A.l与α相交
B.l α
C.l与α相交或l α
D.以上结论都不对
2.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示,其中B'O'=C'O'=1,A'O'=,那么原△ABC是一个(　　).
A.等边三角形
B.直角三角形
C.三边中只有两边相等的等腰三角形
D.三边互不相等的三角形
3.在正方体的8个顶点中,有4个为每个面都是等边三角形的正三棱锥的顶点,则这个三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为(　　).
A.1∶ B.1∶
C.2∶ D.3∶
4.《算数书》竹简于20世纪80年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为(　　).
A. B.
C. D.
5.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为(　　).
A.8π B.4π
C.2π D.π
6.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1-BB1D1D的体积为　　　　　.
7.如图,在三棱锥V-ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC,O,M分别为AB,VA的中点.求证:
(1)VB∥平面MOC;
(2)平面MOC⊥平面VAB.
8.如图,在三棱锥A-BCD中,△ABC是等边三角形,平面ABC⊥平面ABD,M为棱AB的中点,AB=2,AD=2,∠BAD=90°.
(1)求证:AD⊥BC;
(2)求异面直线BC与MD的夹角的余弦值;
(3)求直线CD与平面ABD的夹角的正弦值.
B组
1.给出下列四个命题:①三点确定一个平面;②一条直线和一个点确定一个平面;③若四点不共面,则每三点一定不共线;④三条平行线确定三个平面.其中正确命题的个数为(　　).
A.1 B.2
C.3 D.4
2.如图所示,梯形A1B1C1D1是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图,若A1D1∥y'轴,A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1=2,A1D1=1,则四边形ABCD的面积是(　　).
A.10 B.5
C.5 D.10
3.(多选题)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,M,N分别为线段AB1,BC1上的动点,且AM=BN≠,则下列结论正确的是(　　).
A.AA1⊥MN
B.A1C1∥MN
C.MN∥平面A1B1C1D1
D.MN与A1C1是异面直线
4.棱锥被平行于底面的平面所截,当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时,相应的截面面积分别为S1,S2,S3,则(　　).
A.S1C.S25.一圆台上底面半径为5 cm,下底面半径为10 cm,母线AB长为20 cm,其中点A在上底面上,点B在下底面上,从AB的中点M拉一条绳子,绕圆台的侧面一周转到B点,则这条绳子最短为　　　　　.
6.已知正四棱锥O-ABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为　　　　　.
7.如图,扇形所在圆的圆心角为90°,弦AB将这个扇形分成两个部分,这两部分各以AO所在直线为旋转轴旋转一周,则这两部分旋转所得旋转体的体积V1和V2之比为　　　　　.
8.如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AB=,AD=,F是PB的中点,E是边BC上的动点.
(1)当E为BC的中点时,试判断EF与平面PAC的位置关系,并说明理由;
(2)求证:无论点E在边BC的何处,都有PE⊥AF.
9.如图,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.
(1)证明:MN∥平面C1DE;
(2)求点C到平面C1DE的距离.
答案：
A组
1.C　直线与平面的位置关系:直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交.因为直线l与平面α不平行,所以l与α相交或l α.
2.A　由图形,知在原△ABC中,AO⊥BC.
∵A'O'=,∴AO=.
∵B'O'=C'O'=1,∴BO=CO=1,即BC=2.
∴AB=AC=2.
∴△ABC为等边三角形.故选A.
3.B　设正方体的棱长为a,S正方体表=6a2,正三棱锥棱长为a,
则三棱锥表面积为S三棱锥表=4××2a2=2a2.
∴.
4.B　圆锥的体积V=πr2h=h=,由题意得12π≈,所以π近似取为.故选B.
5.D　∵PA=PB=PC,△ABC为边长为2的等边三角形,∴P-ABC为正三棱锥.
∴PB⊥AC.
又E,F分别为PA,AB的中点,
∴EF∥PB.
∴EF⊥AC.
又EF⊥CE,CE∩AC=C,
∴EF⊥平面PAC.
∴PB⊥平面PAC.
∴∠APB=90°.
∴PA=PB=PC=.
∴P-ABC可以看作棱长为的正方体的一部分.
设球O的半径为R,则2R=,即R=,∴V=πR3=π×π.故选D.
6.　设正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为2V,则2V=1,三棱柱ABD-A1B1D1的体积为V,V=,显然三棱锥A1-ABD的体积为V,则四棱锥A1-BB1D1D的体积为V,即.
7.证明 (1)因为O,M分别为AB,VA的中点,
所以OM∥ VB.
又因为VB 平面MOC,OM 平面MOC,
所以VB∥平面MOC.
(2)因为AC=BC,O为AB的中点,所以OC⊥AB.
又因为平面VAB⊥平面ABC,平面VAB∩平面ABC=AB,且OC 平面ABC,所以OC⊥平面VAB.
又因为OC 平面MOC,所以平面MOC⊥平面VAB.
8.(1)证明 由平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,AD⊥AB,AD 平面ABD,可得AD⊥平面ABC.
由于BC 平面ABC,故AD⊥BC.
(2)解 如图,取棱AC的中点N,连接MN,ND.
因为M为AB的中点,所以MN∥BC.
所以∠DMN或其补角为异面直线BC与MD的夹角.
在Rt△DAM中,AM=1,AD=2,故DM=.
由(1)知AD⊥平面ABC,且AC 平面ABC,所以AD⊥AC.
在Rt△DAN中,AN=1,AD=2,故DN=.
在等腰三角形DMN中,MN=1,可得cos∠DMN=.
所以,异面直线BC与MD的夹角的余弦值为.
(3)解 如图,连接CM.因为△ABC为等边三角形,M为边AB的中点,故CM⊥AB,CM=.
又因为平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,且CM 平面ABC,所以CM⊥平面ABD.
所以∠CDM即为直线CD与平面ABD的夹角.
在Rt△CAD中,CD==4.
在Rt△CMD中,sin∠CDM=.
所以直线CD与平面ABD的夹角的正弦值为.
B组
1.A　①中,不共线的三点才能确定一个平面,故①错误;②中,一条直线和直线外一点才能确定一个平面,故②错误;③中,若四点不共面,则每三点一定不共线,故③正确;④中,不共面的三条平行线才能确定三个平面,故④错误.故选A.
2.B　水平放置的平面图形ABCD如图所示.
CD=C1D1=3,AD=2A1D1=2,AB=A1B1=2,∠ADC=90°.
故S梯形ABCD=×(2+3)×2=5.
3.AC　在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB1=BC1.
∵M∈AB1,N∈BC1,且AM=BN≠,
当M为AB1的中点时,N为BC1的中点,也为B1C的中点,
此时MN∥AC∥A1C1;当M不是AB1的中点时,MN与A1C1异面,则B,D错误.
如图,在BB1上取点E,使NE∥B1C1,则,
∴ME∥AB∥A1B1,
∴平面MNE∥平面A1B1C1,
∴MN∥平面A1B1C1D1.
又AA1⊥平面A1B1C1D1,
∴AA1⊥MN,则A,C正确.
4.A　设棱锥的底面面积为S.
由截面性质可知, S1=S; S2=S; S3=S,
因此,S15.50 cm　画出圆台的侧面展开图,并还原成圆锥展开的扇形,设扇形的圆心为O,如图所示.
由题意知这条绳子最短为MB'的长.设OA=r,圆心角∠BOB'=α,则10π=rα,①
20π=(r+20)α,②
由①②可得r=20,α=.所以OM=30,OB'=40,∠BOB'=90°.
所以MB'=50 cm.
6.24π　如图所示,在正四棱锥O-ABCD中,VO-ABCD=·S正方形ABCD·OO1=×()2×OO1=,
∴OO1=.
在Rt△OO1A中,AO1=,OA=,即R=,
∴S球面=4πR2=24π.
7.1∶1　△ABO绕AO所在直线旋转一周得一圆锥,扇形ABO绕AO所在直线旋转一周得半球体,设AO=R,则V半球=πR3,V圆锥=·R2·R=R3,
所以V1∶V2=V圆锥∶(V半球-V圆锥)=1∶1.
8.(1)解 EF与平面PAC平行.理由如下:
当E为BC的中点时,
∵F为PB的中点,∴EF∥PC.
∵EF 平面PAC,PC 平面PAC,
∴EF∥平面PAC.
(2)证明 ∵PA=AB,F为PB的中点,∴AF⊥PB.
∵PA⊥平面ABCD,BC 平面ABCD,∴PA⊥BC.
又BC⊥AB,PA∩AB=A,PA,AB 平面PAB,
∴BC⊥平面PAB.
又AF 平面PAB,∴BC⊥AF.
又PB∩BC=B,PB,BC 平面PBC,
∴AF⊥平面PBC.
∵无论点E在边BC的何处,都有PE 平面PBC,
∴PE⊥AF.
9.(1)证明 如图,连接B1C,ME.
因为M,E分别为BB1,BC的中点,
所以ME∥B1C,且ME=B1C.
又因为N为A1D的中点,所以ND=A1D.
由题设知A1B1 DC,所以四边形A1B1CD是平行四边形.
所以B1CA1D.
所以MEND.
因此,四边形MNDE为平行四边形.
所以MN∥ED.
又因为MN 平面C1DE,ED 平面C1DE,所以MN∥平面C1DE.
(2)解 如图,过点C作C1E的垂线,垂足为H.
由已知可得DC=BC=2,CE=1,∠DCB=60°,故DE⊥BC.
又因为DE⊥C1C,BC∩CC1=C,BC,CC1 平面C1CE,所以DE⊥平面C1CE.
又因为CH 平面C1CE,所以DE⊥CH.
由于DE,C1E为平面C1DE内两条相交直线,故CH⊥平面C1DE,
故CH的长即为点C到平面C1DE的距离.
因为CE=1,C1C=4,所以C1E=,从而可得CH=.
即点C到平面C1DE的距离为.
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