2025北师版高中数学必修第二册练习题--第1章　§3　弧度制（含解析）

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2025北师版高中数学必修第二册
§3　弧度制
课后训练巩固提升
A组
1.(多选题)下列各角中与240°角终边相同的角有(　　).
A. B.-
C.- D.
2.若θ=-5,则角θ的终边所在的象限是(　　).
A.第四象限
B.第三象限
C.第二象限
D.第一象限
3.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　).
4.已知角的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,则下列各组角中,表示终边相同的角的是(　　).
A.2kπ±与kπ±(k∈Z)
B.kπ±与2kπ+(k∈Z)
C.kπ-与kπ+(k∈Z)
D.2kπ±π与kπ(k∈Z)
5.在[0,2π]范围内,与终边相同的角为　　　　　.
6.时针经过一小时,转过了　　　　　 rad.
7.用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合.
8.已知集合A=[-],B={β∣2kπ+<β≤2kπ+,k∈Z},C={γ|-10<γ<10}.
(1)若θ∈A,且角3θ与-θ的终边垂直,求θ;
(2)求B∩C.
B组
1.(多选题)下列表示中正确的是(　　).
A.终边在x轴上的角的集合是{α|α=kπ,k∈Z}
B.终边在y轴上的角的集合是{α∣α=+kπ,k∈Z}
C.终边在坐标轴上的角的集合是{α∣α=k·,k∈Z}
D.终边在直线y=x上的角的集合是{α∣α=+2kπ,k∈Z}
2.如图所示,用两种方案将一块顶角为120°,腰长为2的等腰三角形钢板OAB裁剪成扇形,设方案一、方案二扇形的面积分别为S1,S2,周长分别为l1,l2,则(　　).
(方案一)
(方案二)
A.S1=S2,l1>l2 B.S1=S2,l1C.S1>S2,l1=l2 D.S13.(多选题)若扇形的弧长变为原来的2倍,半径变为原来的2倍,则(　　).
A.扇形的面积不变
B.扇形的面积变为原来的4倍
C.扇形的圆心角不变
D.扇形的圆心角变为原来的2倍
4.(多选题)一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成.设扇形(如图)的面积为S1,圆心角为α1,圆面中剩余部分的面积为S2,圆心角为α2,当S1与S2的比值为≈0.618(黄金分割比)时,折扇看上去较为美观,那么此时(　　).
A.α1=127.5° B.α1=137.5°
C.α2=(-1)π D.
5.在Rt△PBO中,∠PBO=90°,以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB将△POB分为面积相等的两部分,且∠AOB=α弧度,则=　　　　　.
6.某企业欲做一个介绍企业发展史的广告牌,广告牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的).已知OA=10 m,OB=x m(0(1)求θ关于x的函数解析式.
(2)记广告牌的截面面积为y,试问x取何值时,y的值最大 并求出最大值.
答案：
A组
1.CD　240°=,而--2π,+2π.故选CD.
2.D　因为-2π<-5<-,所以角θ的终边在第一象限.
3.C　当k=2m,m∈Z时,2mπ+≤α≤2mπ+,m∈Z;当k=2m+1,m∈Z时,2mπ+≤α≤2mπ+,m∈Z.故选C.
4.C　对于A,当k=1时,kπ+,在2kπ±(k∈Z)表示的角中不存在与终边相同的角,不符合题意;对于B,kπ±(k∈Z)表示终边在y轴上的角,2kπ+(k∈Z)表示终边在y轴非负半轴上的角,不符合题意;对于C,kπ-(k∈Z),kπ+(k∈Z)表示终边在y轴上的角,符合题意;对于D,2kπ±π(k∈Z)表示终边在x轴非正半轴上的角,kπ(k∈Z)表示终边在x轴上的角,不符合题意.故选C.
5.　与终边相同的角为β=+2kπ,k∈Z,
令0≤+2kπ≤2π,k∈Z,得-≤k≤-,k∈Z,所以k=-3,β=-6π=,
所以在[0,2π]范围内,与终边相同的角为.
6.-　时针经过一小时,转过-30°,-30°=- rad.
7.解 如题图,330°角的终边与-30°角的终边相同,将-30°化为弧度,即-,而75°=75×,故终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为{θ<θ<2kπ+,k∈Z}.
8.解 (1)由3θ与-θ终边垂直,
可得3θ=-θ++kπ,k∈Z,得θ=,k∈Z,又θ∈A,故θ的所有可能取值为-,-,0,.
(2)B={β|2kπ+<β≤2kπ+,k∈Z},
当k=-1时,B={β|-<β≤-},
当k=0时,B={β|<β≤},
当k=1时,B={β|<β≤},
又C={γ|-10<γ<10},
∴B∩C=∪(]∪(].
B组
1.ABC　终边在直线y=x上的角的集合是{α|α=+kπ,k∈Z},D错误.易知ABC正确.
2.A　∵△AOB是顶角为120°,腰长为2的等腰三角形,
∴∠A=∠B=30°=,OH=1,
方案一中扇形的周长l1=2+2+2×=4+,方案二中扇形的周长l2=1+1+1×=2+,方案一中扇形的面积S1=×2×2×,方案二中扇形的面积S2=×12×,故S1=S2,l1>l2.
3.BC　设原扇形的半径为r,弧长为l,圆心角为α,则原扇形的面积为S1=lr,扇形的弧长变为原来的2倍,半径变为原来的2倍后,其面积为S2=·2l·2r=2lr,故S2=4S1,故A错误,B正确;由α=,可知扇形的圆心角不变,故C正确,D错误.
4.BCD　设扇形的半径为R,则,故D正确;
因为α1+α2=2π,所以α2+α2=2π,解得α2=(-1)π,故C正确;
由≈0.618,则-1≈1.236,
所以α2=(-1)π≈1.236×180°≈222.5°,
所以α1≈360°-222.5°=137.5°,故B正确.
5.　设扇形的半径为r,
则扇形的面积为αr2.
在Rt△POB中,PB=rtan α,
则△POB的面积为r·rtan α.
由题意得r·rtan α=2×αr2,
即tan α=2α,
故.
6.解 (1)根据题意,可算得=x·θ,=10θ.
因为BA+CD+=30,
所以10-x+10-x+xθ+10θ=30.
所以θ=(0(2)依据题意,可知y=S扇形OAD-S扇形OBC=θ×102-θx2,
化简得y=-x2+5x+50=-.
所以当x=时,ymax=.
答:当x=时,y的值最大,且最大值为 m2.
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