2025北师版高中数学必修第二册练习题--第1章　§4　4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义--4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质（含解析）

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2025北师版高中数学必修第二册
§4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质
4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
课后训练巩固提升
1.若角α的终边经过点P(-1,-1),则(　　).
A.cos α=- B.sin α=-1
C.cos α= D.sin α=
2.若α=-5,则(　　).
A.sin α>0,cos α>0
B.sin α>0,cos α<0
C.sin α<0,cos α>0
D.sin α<0,cos α<0
3.(多选题)若角α的终边在直线y=-2x上,则sin α的可能取值为(　　).
A. B.-
C. D.-
4.已知角α的终边经过点P(-b,4),且cos α=-,则b的值为(　　).
A.-3 B.3
C.±3 D.5
5.已知角α的终边经过点P(8,-6),则sin α-cos α的值是(　　).
A. B.-
C. D.-
6.已知α>β>0,则(　　).
A.sin α>sin β B.cos αC.log2α>log2β D.2α<2β
7.sin 2·cos 3·cos 6的值(　　).
A.小于0 B.大于0
C.等于0 D.不存在
8.在平面直角坐标系中,以原点O为顶点,以x轴的非负半轴为角的始边,如果角α,β的终边分别与单位圆交于点()和(-),那么sin αcos β=(　　).
A.- B.- C. D.
9.函数y=3sin x,x∈[-]的值域为　　　　　.
10.函数y=cos α,α∈[-)的值域是　　　　　.
11.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且sin α>0,cos α≤0,则实数a的取值范围是　　　　　.
12.函数y=的定义域为　　　　　　　　　　.
13.求函数y=的值域.
14.已知=-,且lg(cos α)有意义.
(1)试判断角α的终边所在的象限;
(2)若角α的终边与单位圆相交于点M(,m),求m的值及sin α的值.
15.已知函数f(x)=.
(1)判断函数f(x)是不是周期函数;
(2)求函数f(x)的单调递增区间;
(3)当x∈时,求f(x)的值域.
答案：
1.A　由点P的坐标计算得r=,则sin α==-,cos α==-.
2.A　因为-5(弧度制)为第一象限角,所以sin α>0,cos α>0.
3.CD　设角α的终边y=-2x上一点(a,-2a),
当a>0时,r=a,sin α==-,
当a<0时,r=-a,sin α=.故选CD.
4.B　因为角α的终边经过点P(-b,4)且cos α=-,所以cos α=-=-,则b>0,解得b=3.
5.D　由三角函数定义知,r=|OP|==10,故sin α==-,cos α=,则sin α-cos α=-.
6.C　当α=4π,β=2π时,sin α=sin β=0,cos α=cos β=1,故A,B两个选项错误.
由于2>1,故log2α>log2β,2α>2β,所以C正确,D错误.故选C.
7.A　∵sin 2>0,cos 3<0,cos 6>0,
∴sin 2·cos 3·cos 6<0.
8.B　∵角α,β的终边与单位圆分别交于点()和(-),
∴由三角函数的定义知sin α=,cos β=-,
∴sin αcos β=×(-)=-.
9.　借助单位圆(图略)可知,函数y=sin x,x∈,在x=处取最大值1,在x=-和x=处同时取得最小值-,即-≤sin x≤1,故-≤3sin x≤3.
10.[-]　结合单位圆(图略)可知,当α∈时,-1≤cos α≤1,
所以-≤y≤,即函数的值域是[-].
11.(-2,3]　∵点(3a-9,a+2)在角α的终边上,sin α>0,cos α≤0,∴解得-212.[-4,-π]∪[0,π]　要使函数式有意义,需由①得-4≤x≤4,由②得2kπ≤x≤2kπ+π(k∈Z),故函数的定义域为[-4,-π]∪[0,π].
13.解 由sin x≠0,cos x≠0知,x的终边不能落在坐标轴上,当x为第一象限角时,sin x>0,cos x>0,sin xcos x>0,y=0;
当x为第二象限角时,sin x>0,cos x<0,sin xcos x<0,y=2;
当x为第三象限角时,sin x<0,cos x<0,sin xcos x>0,y=-4;
当x为第四象限角时,sin x<0,cos x>0,sin xcos x<0,y=2.
故函数y=的值域为{-4,0,2}.
14.解 (1)∵=-,
∴sin α<0.①
∵lg(cos α)有意义,
∴cos α>0.②
由①②得角α的终边在第四象限.
(2)∵点M在单位圆上,
∴+m2=1,
解得m=±.
又α是第四象限角,
∴m<0,∴m=-.
由三角函数定义知,sin α=-.
15.解 (1)因为-1≤sin x≤1,所以2-sin x≠0,则f(x)的定义域是R.
根据终边相同角的三角函数值相等,可得f(x+2π)==f(x),故f(x)是周期函数.
(2)由正弦函数的基本性质,可知在区间[2kπ-,2kπ+](k∈Z)上,函数y=sin x单调递增,而此时函数h(x)=2-sin x单调递减,从而可知此时函数f(x)单调递增,故可知函数f(x)的单调递增区间为[2kπ-,2kπ+](k∈Z).
(3)设t=sin x,
则t∈,
得1≤2-t<,则≤1.
故f(x)的值域为.
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