2025北师版高中数学必修第二册练习题--第1章　§6　6.1　探究ω对y=sin ωx的图象的影响--6.2　探究φ对y=sin(x+φ)的图象的影响（含解析）

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2025北师版高中数学必修第二册
§6　函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象
6.1　探究ω对y=sin ωx的图象的影响
6.2　探究φ对y=sin(x+φ)的图象的影响
课后训练巩固提升
A组
1.要得到函数y=sin的图象,只需将函数y=sin 2x的图象(　　).
A.向右平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
2.函数y=sin x的图象向左平移个单位长度后,所得图象的一条对称轴方程是(　　).
A.x=- B.x=
C.x= D.x=
3.函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象,若g(x)=g(-x),当|φ|最小时,φ的值是(　　).
A.- B.
C.- D.
4.把函数y=sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数(　　).
A.是非奇非偶函数
B.既是奇函数又是偶函数
C.是奇函数
D.是偶函数
5.(多选题)要得到函数y=sin 2x的图象,可以把函数y=sin的图象(　　).
A.向左平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
6.函数y=sin取最大值时自变量的取值集合是　　　　　　　　　　.
7.将函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-≤φ<)的图象上每一点的横坐标缩短到原来的一半,纵坐标不变,再向右平移个单位长度得到y=sin x的图象,则f=　　　　　.
8.关于函数f(x)=4sin(x∈R),有下列结论,其中正确的是　　　　　.(填序号)
①y=f(x)的解析式可改写为y=4cos(2x-);
②y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数;
③y=f(x)的图象关于点对称;
④y=f(x)的图象关于直线x=对称.
9.已知函数y=sin.
(1)用“五点(画图)法”画出函数的草图;
(2)函数图象可由y=sin x的图象怎样变换得到
B组
1.(多选题)函数f(x)=sin(2x+φ)是R上的偶函数,则φ的值可以是(　　).
A. B.π
C. D.-
2.若将函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象上所有的点向左平移个单位长度,所得图象与原图象重合,则ω的值不可能等于(　　).
A.4 B.6
C.8 D.12
3.若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间[0,]上单调递增,在区间[]上单调递减,则ω等于(　　).
A.3 B.2 C. D.
4.(多选题)若将函数f(x)=sin(x-)的图象先向右平移个单位长度,再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,则(　　).
A.g(x)的最小正周期为2π
B.g(x)图象的一个对称中心为
C.g(x)的值域为[-]
D.g(x)图象的一条对称轴方程为x=
5.设函数f(x)=sin,若对任意x∈R,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-x2|的最小值为　　　　　.
6.已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=,则f(π)=　 　　　　　　.
7.已知函数f(x)=2cos(3x+).
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值.
8.已知函数f(x)=sin(0<φ<π,ω>0)为奇函数,且函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f的值;
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的单调递减区间.
答案：
A组
1.A　因为函数y=sin=sin[2(x-)],所以只需将函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度即可.
2.B　函数y=sin x的图象向左平移个单位长度后,所得图象对应函数的解析式为y=sin.当x=时,y=1,故直线x=是函数y=sin(x+)的图象的一条对称轴.故选B.
3.A　因为函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象,
所以g(x)=sin(2x+φ-),
因为g(x)=g(-x),即函数g(x)为偶函数,
所以φ-+kπ,k∈Z,即φ=+kπ,k∈Z,
所以当k=-1时,|φ|最小,此时φ=-.
4.D　y=sin的图象向右平移个单位长度得到y=sin=sin=-cos 2x的图象,可知y=-cos 2x是偶函数.
5.AD　由函数y=sin=sin,要得到函数y=sin 2x的图象,只需将函数y=sin(2x-)的图象向左平移个单位长度;又因为y=sin(2x-)=sin(2x-+2π)=sin[2(x+)],要得到函数y=sin 2x的图象,也可将函数y=sin的图象向右平移个单位长度.
6.　当+2kπ,k∈Z,即x=+4kπ,k∈Z时,函数取最大值.
7.　y=sin x的图象向左平移个单位长度,得到y=sin的图象,再把每一点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到y=sin的图象,即为f(x)=sin(ωx+φ)的图象,所以f(x)=sin,故f.
8.①③　因为4sin=4cos=4cos,所以①正确,易得②不正确,
而f=0,故是对称中心,③正确,因为f()=4sin≠4,所以直线x=不是对称轴,④不正确.
9.解 (1)列表:
2x+ 0 π 2π
x -
y 0 1 0 -1 0
描点、连线如图所示.
将y=sin在区间上的图象向左(右)平移kπ(k∈Z)个单位长度,即可得到y=sin(2x+)的整个图象.
(2)y=sin x的图象y=sin(x+)的图象y=sin(2x+)的图象.
B组
1.ACD　因为f(x)=sin(2x+φ)是R上的偶函数,所以φ=+kπ,k∈Z,结合选项可知,A,C,D均符合,B不符合.故选ACD.
2.B　由题意可知=kT(k∈Z).因为f(x)=sin(ωx+φ)的周期T=,所以=k·,即|ω|=4k(k∈Z).故ω的值不可能等于6.
3.C　由题意知,函数f(x)=sin ωx在x=处取得最大值1,且,所以1=sin,得ω=,故选C.
4.BD　将函数f(x)=sin的图象先向右平移个单位长度得到y=sin(x-)=sin(x-)的图象,再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),得到g(x)=sin的图象.
所以g(x)的最小正周期为T==π,A选项错误.
g=sin=0,B选项正确.
g(x)的值域为[-1,1],C选项错误.
g=sin=sin=1,D选项正确.
5.2　若对任意x∈R,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则f(x1)=f(x)min且f(x2)=f(x)max,|x1-x2|的最小值为f(x)=sin的半个周期,即|x1-x2|min==2.
6.-　对比正弦曲线y=sin x的图象易知,点对应“五点法”中的第五点,
所以ω+φ=2π.①
由题目中图象知|AB|=xB-xA=,线段AB的垂直平分线对应于正弦曲线y=sin x在y轴右边的第1条对称轴直线x=,所以由sin(ωx+φ)=,得两式相减,得ω(xB-xA)=,即ω=,解得ω=4.代入①,得φ=-,所以f(x)=sin,所以f(π)=sin=-sin=-.
7.解 (1)令2kπ-π≤3x+≤2kπ(k∈Z),解得≤x≤(k∈Z).
∴f(x)的单调递增区间为[](k∈Z).
(2)当3x+=2kπ-π(k∈Z)时,f(x)取得最小值-2.即x=(k∈Z)时,f(x)取得最小值-2.
8.解 (1)∵f(x)为奇函数,∴φ-=kπ(k∈Z),
∴φ=kπ+(k∈Z).又0<φ<π,∴φ=,
∴f(x)=sin ωx.又函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为,
∴T==2×,∴ω=2,∴f(x)=sin 2x,
∴f=sin.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到函数f的图象,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数f的图象,
∴g(x)=f=sin=sin().
当2kπ+≤2kπ+(k∈Z),即4kπ+≤x≤4kπ+(k∈Z)时,g(x)单调递减.
∴函数g(x)的单调递减区间是[4kπ+,4kπ+](k∈Z).
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