2025北师版高中数学必修第二册练习题--第1章　§6　6.3　探究A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响（含解析）

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2025北师版高中数学必修第二册
6.3　探究A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响
课后训练巩固提升
1.简谐运动y=4sin的振幅与初相分别是(　　).
A.4, B.x-,4
C.4,- D.,-4
2.将函数y=sin x的图象上各点的纵坐标缩短到原来的,横坐标不变,则所得图象对应的函数为(　　).
A.y=3sin x B.y=sin x
C.y=sin 3x D.y=sinx
3.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,若将f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,则g(x)的解析式为(　　).
A.y=sin B.y=sin
C.y=sin D.y=sin
4.当-≤x≤时,函数f(x)=2sin(x+)有(　　).
A.最大值1,最小值-1
B.最大值1,最小值-
C.最大值2,最小值-2
D.最大值2,最小值-1
5.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,其中图象最高点和最低点的横坐标分别为,图象在y轴上的截距为,给出下列四个结论:
①f(x)的最小正周期为π;②f(x)的最大值为2;③f=1;④f为奇函数.
其中正确结论的个数是(　　).
A.1 B.2
C.3 D.4
6.(多选题)将函数f(x)=cos(2x+)-1的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象,则下列关于g(x)描述正确的是(　　).
A.最大值为,图象关于直线x=-对称
B.图象关于y轴对称
C.最小正周期为π
D.图象关于点成中心对称
7.设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω>0,|φ|<)的图象关于直线x=对称,它的周期是π,则(　　).
A.f(x)的图象过点
B.f(x)在[]上单调递减
C.f(x)图象的一个对称中心是
D.f(x)的最大值是A
8.将函数y=2sin x的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,所得图象的函数解析式是　　　　　　　　　.
9.若函数f(x)=2sin(2x+)在区间[0,]和[3m,π]上均单调递增,则实数m的取值范围为　　　　　.
10.已知函数f(x)=3sin(ω>0)和g(x)=2cos(2x+φ)的图象的对称轴完全相同.若x∈[0,],则f(x)的取值范围是　　　　　　　　　.
11.关于函数f(x)=4sin(x∈R),有下列说法:
①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2是π的整数倍;
②y=f(x)的解析式可改写成y=4cos(2x-);
③y=f(x)的图象关于中心对称;
④y=f(x)的图象关于x=-对称.
其中正确的是　　　　　.(填序号)
12.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤)的图象如图.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度得到曲线C,把C上各点的横坐标保持不变,纵坐标伸长到原来的2倍得到g(x)的图象,且关于x的方程g(x)-m=0在[0,]上有解,求m的取值范围.
13.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示.
(1)求这个函数的解析式,并指出它的振幅和初相;
(2)求函数在区间[-,-]上的最大值和最小值,并指出取得最值时的x的值.
14.已知函数f(x)=2sin(其中0<ω<1),若点是函数f(x)图象的一个对称中心.
(1)求f(x)的解析式,并求f(x)的最小正周期;
(2)先将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,用“五点(画图)法”作出函数g(x)在区间[-π,3π]上的图象.
答案：
1.C　振幅是4,当x=0时的相位为初相即-.
2.B　将函数y=sin x的图象上各点的纵坐标缩短到原来的,横坐标不变,即得到y=sin x的图象,故选B.
3.A　结合图象可知函数f(x)=sin,而横坐标缩短为原来的,故函数g(x)的解析式为y=sin(4x+).
4.D　因为-≤x≤,所以-≤x+,
所以-≤sin(x+)≤1,所以-1≤f(x)≤2.
5.D　由题中图象可知函数f(x)的最小正周期T=2×=π,则ω=2,即f(x)=Asin(2x+φ).
又由f=A,即f=Asin=Asin=A,所以sin=1.
由0<φ<π,解得φ=,即f(x)=Asin.
又由f(0)=,得Asin,所以A=2,即f(x)=2sin.所以函数f(x)的最大值为2.所以①②正确.
又由f=2sin=2cos=1,所以③正确.
又由f=2sin=2sin 2x为奇函数,所以④正确.
所以正确结论的个数为4,故选D.
6.BC　根据题意,g(x)=cos[2(x+)+]-1+1,化简得g(x)=-cos 2x,
∴g(x)为偶函数,图象关于y轴对称,选项B正确;
g(x)的最小正周期T==π,选项C正确;
g(x)的对称轴方程为2x=kπ,k∈N*,∴x=,选项A错误;g(x)的对称中心为(,0),选项D错误.
7.C　∵周期T=π,∴=π,∴ω=2.
又f(x)的图象关于直线x=对称,
∴2×+φ=+kπ(k∈Z).又|φ|<,∴φ=.
∴f(x)=Asin,
∴f(x)的图象过点.∴选项A不正确.
又当x=时,2x+=π,则f=0,∴点是f(x)图象的一个对称中心.故选项C正确.
∵A的正负不确定,∴选项B,D不正确.
8.y=2sin+1　将函数y=2sin x的图象向左平移个单位长度,可得y=2sin的图象,再向上平移1个单位长度,可得y=2sin+1的图象.
9.[]　由f(x)=2sin(2x+)知,当x∈[0,π]时,f(x)在区间[0,]和[,π]上单调递增,
∵f(x)在区间[0,]和[3m,π]上均单调递增,
∴
∴≤m≤,
∴m的取值范围为[].
10.　由题意知,ω=2.因为x∈,所以2x-,故f(x)的最小值为f(0)=3sin=-,最大值为f=3sin=3,所以f(x)的取值范围是.
11.②③　对于①,由f(x)=0,可得2x+=kπ(k∈Z),∴x=π-(k∈Z),∴x1-x2是的整数倍,
∴①错;
对于②,f(x)=4sin,利用诱导公式得,
f(x)=4cos=4cos.
∴②对;
对于③,f(x)=4sin图象的对称中心满足2x+=kπ,k∈Z,∴x=π-,k∈Z.
∴是函数y=f(x)图象的一个对称中心,
∴③对;
对于④,函数y=f(x)图象的对称轴满足2x++kπ,k∈Z,∴x=,k∈Z,∴④错.
12.解 (1)由图象最高点函数值为1,最低点函数值为-1,且A>0,可知A=1,函数最小正周期T=4=π,所以|ω|==2,因为ω>0,所以ω=2,故f(x)=sin(2x+φ),将点代入,可得sin=1,因为|φ|≤,所以φ=,所以f(x)=sin.
(2)由图象变换得g(x)=2sin,当x∈时,2x-,g(x)=2sin(2x-)∈[-1,2],关于x的方程g(x)-m=0有解,则m∈[-1,2].
13.解 (1)由题中图象知,函数的最大值为2,最小值为-2,∴A=2.∵,
∴T=π,=π,
∴ω=2.∴函数的解析式为y=2sin(2x+φ).
∵函数的图象经过点,
∴2sin=2,∴sin=1,
又0<φ<,∴φ=.故函数的解析式为y=2sin,其振幅是2,初相是.
(2)∵x∈,∴2x+.
于是当2x+=0,即x=-时,函数取得最大值0;
当2x+=-,即x=-时,函数取得最小值-2.
14.解 (1)f(x)=2sin,
∵是f(x)图象的一个对称中心,
∴-ω+=kπ(k∈Z),∴ω=-3k+,k∈Z.
又0<ω<1,∴ω=,∴f(x)=2sin,则f(x)的最小正周期T=2π.
(2)由(1)知,f(x)的图象向左平移个单位长度得y=2sin的图象,再把所有图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍得g(x)=2sin的图象.
当x∈[-π,3π]时,列表如下:
x+ - 0 π
x -π - 3π
f(x) -1 0 2 0 -2 -1
则g(x)在区间[-π,3π]上的图象如下图所示:
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