2025北师版高中数学必修第二册练习题--第1章　§7　7.3　正切函数的图象与性质（含解析）

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2025北师版高中数学必修第二册
7.3　正切函数的图象与性质
课后训练巩固提升
A组
1.函数y=3tan的定义域是(　　).
A.
B.
C.
D.
2.已知函数y=tan ωx在区间内单调递减,则(　　).
A.0<ω≤1
B.-1≤ω<0
C.ω≥1
D.ω≤-1
3.函数y=2tan-1在一个周期内的图象是(　　).
4.已知a=tan 1,b=tan 2,c=tan 3,则(　　).
A.aC.b5.(多选题)已知函数f(x)=tan,则下列说法正确的是(　　).
A.最小正周期是π
B.图象关于点对称
C.在区间上单调递增
D.图象关于直线x=对称
6.有以下三个条件:①定义域不是R,但值域为R;②在(-1,1)上单调递减;③是奇函数.写出一个同时满足以上三个条件的函数:f(x)=　　　　　.
7.函数y=tan的递减区间为　　　　　　　　　　　　.
8.画出f(x)=tan|x|的图象,并根据图象判断其单调区间、周期性、奇偶性.
B组
1.函数f(x)=x·tan x(-12.使得tan成立,且x∈[0,2π)的x的个数为(　　).
A.5 B.4
C.3 D.2
3.下列说法正确的是(　　).
A.正切函数是偶函数
B.正切函数会在某一区间内单调递减
C.函数y=tan的周期为2
D.tan 138°>tan 143°
4.函数y=的定义域为　　　　　　　　　　.
5.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|<),y=f(x)的部分图象如图所示,则f=　　　　　.
6.设函数f(x)=tan.
(1)求函数f(x)的最小正周期,其图象的对称中心;
(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图.
7.已知函数f(x)=2tan+1.
(1)求f(x)的定义域;
(2)求f(x)的周期;
(3)求f(x)的递增区间.
答案：
A组
1.C　要使函数有意义,则2x+≠kπ+,k∈Z,即x≠,k∈Z,
则函数的定义域为{x|x≠,k∈Z},故选C.
2.B　∵y=tan ωx在区间内单调递减,
∴ω<0且T=≥π.∴|ω|≤1,即-1≤ω<0.
3.B　y=2tan-1的周期为T=,排除A,C,当x=0时y=-3,故图象过点(0,-3),排除D,选B.
4.C　由题意可知a=tan 1>1,b=tan 2=-tan(π-2)<0,c=tan 3=-tan(π-3)<0.再根据>π-2>π-3>0,得tan(π-2)>tan(π-3)>0,故-tan(π-2)<-tan(π-3)<0,综上可得,a>0>c>b.
5.BC　函数y=tan,函数的最小正周期为,A错误;令2x+ x=,k∈Z,当k=2时,x=,所以图象关于点对称,B正确;因为kπ-<2x+6.-tan x(答案不唯一)　结合题中的三个条件可知f(x)=-tan x为满足题意的一个函数.
7.()(k∈Z)　已知y=-tan.由-+kπ<3x++kπ(k∈Z),得8.解 f(x)=tan|x|可化为f(x)=根据y=tan x的图象,作出f(x)=tan|x|的图象,如图所示,
由图象知,f(x)不是周期函数,是偶函数,递增区间为,(kπ+,kπ+)(k∈N);递减区间为(-,0],(kπ-,kπ-)(k=0,-1,-2,…).
B组
1.B　由f(x)=xtan x(-1所以f(x)=f(-x),即函数f(x)是偶函数,故排除A,C,当00,排除D.
2.B　∵tan,∴2x++kπ,k∈Z,∴x=-π,k∈Z.
∵x∈[0,2π),∴0≤-π<2π,∴k的值为1,2,3,4,即x的个数为4.
3.C　正切函数是奇函数,A错误;正切函数没有递减区间,B错误;函数y=tan的周期为=2,C正确;tan 138°=-tan 42°<-tan 37°=tan 143°,D错误.
4.(2kπ+,2kπ+),k∈Z　由题意得sin x>0且tan x>1,由sin x>0得x∈(2kπ,2kπ+π),k∈Z,由tan x>1得x∈(kπ+,kπ+),k∈Z,因为(2kπ,2kπ+π)∩(kπ+,kπ+)=(2kπ+,2kπ+),k∈Z,
所以所求函数的定义域为(2kπ+,2kπ+),k∈Z.
5.3　由题图可知,,解得T=.
因为T=,所以ω=2.
又f=0,即Atan=0,
所以tan=0,又|φ|<,所以φ=.
因为f(0)=1,所以Atan=1,
即Atan=1,所以A=.
所以f(x)=tan.
所以ftantan=3.
6.解 (1)∵ω=,∴最小正周期T==2π.
令(k∈Z),得x=kπ+(k∈Z),
∴f(x)图象的对称中心是(k∈Z).
(2)令=0,得x=;令,得x=;
令=-,得x=;令,得x=;令=-,得x=-.
∴函数y=tan的图象与x轴的一个交点坐标是,在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x=-,x=,从而得到函数y=f(x)在一个周期内的简图(如图).
7.解 (1)由f(x)=2tan+1可得,x+≠kπ+,k∈Z,即x≠+kπ,k∈Z,
故f(x)的定义域为{xx≠+kπ,k∈Z}.
(2)周期T==π,故f(x)的周期为π.
(3)由-+kπ故f(x)的递增区间为(-π+kπ,+kπ)(k∈Z).
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