2025北师版高中数学必修第二册练习题--第1章　习题课——三角函数的图象与性质（含解析）

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2025北师版高中数学必修第二册
习题课——三角函数的图象与性质
课后训练巩固提升
A组
1.函数f(x)=cos的图象关于(　　).
A.原点对称 B.y轴对称
C.直线x=对称 D.直线x=-对称
2.函数f(x)=的定义域为(　　).
A.[]
B.[ kπ+,kπ+],k∈Z
C.[2kπ+,2kπ+],k∈Z
D.R
3.函数y=cos x+|cos x|,x∈[0,2π]的大致图象为(　　).
4.函数y=f(x)的图象是由函数y=cos(2x+)的图象向左平移个单位长度得到的,则y=f(x)的图象与直线y=x-的交点个数为(　　).
A.1 B.2
C.3 D.4
5.写出一个最小正周期为2的奇函数f(x)=　　　　　.
6.已知函数f(x)=3tan.
(1)求f(x)的定义域、值域;
(2)讨论f(x)的周期性、奇偶性和单调性.
B组
1.函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)可能是(　　).
A.f(x)=2sin(2x-)
B.f(x)=2sin
C.f(x)=2sin
D.f(x)=2sin
2.(多选题)关于函数f(x)=tan(2x+),下列正确的是(　　).
A.f(x)的定义域是{x∣x≠,k∈Z}
B.f(x)的最小正周期是π
C.f(x)的单调递增区间是()(k∈Z)
D.f(x)的对称中心是(,0)(k∈Z)
3.已知直线x=是函数f(x)=2sin(2x+φ)图象的一条对称轴,则(　　).
A.φ=
B.f(x)在区间[0,]上单调递增
C.由f(x)的图象向左平移个单位长度可得到y=2sin 2x的图象
D.由f(x)的图象向左平移个单位长度可得到y=2sin 2x的图象
4.将函数f(x)=2sin的图象向右平移个单位长度,再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象,则下列说法正确的是(　　).
A.函数g(x)的最大值为+1
B.函数g(x)的最小正周期为
C.函数g(x)的图象关于直线x=-对称
D.函数g(x)在区间[,π]上单调递增
5.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<)的最小正周期为π.
(1)求当f(x)为偶函数时φ的值;
(2)若f(x)的图象过点,求f(x)的递增区间.
6.已知函数f(x)=x2+2xtan θ-1,其中θ≠+kπ,k∈Z.
(1)当θ=-,x∈[-1,]时,求函数f(x)的最大值与最小值;
(2)若函数g(x)=为奇函数,求θ的值;
(3)求θ的取值范围,使y=f(x)在区间[-1,]上是单调函数.
答案：
A组
1.A　函数f(x)=cos=-sin 2x是奇函数,则图象关于原点对称,故选A.
2.C　由题得sin x≥,∴+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.
3.D　y=cos x+|cos x|=故选D.
4.C　由题意知y=f(x)=cos[2]=cos=-sin 2x.在平面直角坐标系中画出y=f(x)=-sin 2x与y=x-的图象草图,如图所示.
由图可知,两函数图象有3个交点.故选C.
5.sin πx(答案不唯一)　由函数是奇函数,可考虑三角函数中的正弦型函数f(x)=Asin ωx(Aω≠0),满足f(-x)=-Asin ωx=-f(x),即是奇函数;根据最小正周期T==2,可得|ω|=π.
故函数可以是f(x)=sin πx(答案不唯一).
6.解 (1)由x-+kπ,k∈Z,解得x≠+2kπ,k∈Z.
故f(x)的定义域为,值域为R.
(2)f(x)为周期函数,周期T==2π,f(x)为非奇非偶函数.由-+kπB组
1.A　由图象可知|A|=2,且T=2×()=π,所以|ω|==2,不妨设f(x)=2sin(2x+φ),将代入得2sin=2,即+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=-+2kπ,k∈Z,当k=0时,φ=-,故A正确,其他选项均不符合要求.
2.AC　对于A选项,令2x++kπ(k∈Z),解得x≠(k∈Z),则函数y=f(x)的定义域是{x|x≠,k∈Z},A选项正确;
对于B选项,函数y=f(x)的最小正周期为,B选项错误;
对于C选项,令kπ-<2x+对于D选项,令2x+(k∈Z),解得x=(k∈Z),
则函数y=f(x)的对称中心为(,0)(k∈Z),D选项错误.
3.D　由题意可得,2×+φ=kπ+(k∈Z),据此可得,φ=kπ-(k∈Z).令k=0可得φ=-,选项A错误;函数的解析式为f(x)=2sin,若x∈,则2x-,函数不具有单调性,选项B错误;由f(x)的图象向左平移个单位长度可得到y=2sin=2sin的图象,选项C错误;由f(x)的图象向左平移个单位长度可得到y=2sin[2(x+)-]=2sin 2x的图象,选项D正确.
4.C　将函数f(x)=2sin的图象向右平移个单位长度,可得y=2sin的图象,再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)=2sin的图象,故g(x)的最大值为2,A错误;显然,g(x)的最小正周期为2π,B错误;当x=-时,g(x)=-2,是最小值,故函数g(x)的图象关于直线x=-对称,C正确;在区间上,x-,函数g(x)=2sin(x-)单调递减,D错误.
5.解 ∵f(x)的最小正周期为π,则T==π,
∴ω=2,∴f(x)=sin(2x+φ).
(1)当f(x)为偶函数时,φ=+kπ,k∈Z,又0<φ<,∴φ=.
(2)f(x)的图象过点,sin ,即sin.
∵0<φ<,∴+φ<π,
∴+φ=,φ=,∴f(x)=sin.
令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
∴f(x)的递增区间为,k∈Z.
6.解 (1)当θ=-时,f(x)=x2-x-1=.
∵x∈[-1,],∴当x=时,f(x)min=-,
当x=-1时,f(x)max=.
(2)g(x)=x-+2tan θ,
∵g(x)为奇函数,
∴0=g(-x)+g(x)=-x++2tan θ+x-+2tan θ=4tan θ,∴tan θ=0,∴θ=kπ,k∈Z.
(3)函数f(x)图象的对称轴方程为x=-tan θ,
∵f(x)在区间[-1,]上是单调函数,
∴-tan θ≤-1或-tan θ≥,即tan θ≤-或tan θ≥1,-+kπ<θ≤-+kπ或+kπ≤θ<+kπ,k∈Z.
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