2025北师版高中数学必修第二册练习题--第1章测评（含解析）

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2025北师版高中数学必修第二册
第一章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列说法正确的是(　　).
A.小于90°的角是锐角
B.钝角是第二象限角
C.第二象限角大于第一象限角
D.若角α与角β的终边相同,则α=kπ+β,k∈Z
2.已知角α的终边上有一点P(1,3),则的值为(　　).
A.1 B.-
C.-1 D.-4
3.为了得到函数y=2sin的图象,可以将函数y=2sin的图象(　　).
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
4.若函数f(x)=3cos-a在区间[0,]上有两个零点x1,x2,则x1+x2等于(　　).
A. B.
C. D.2π
5.若函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意x都有f=f(-x),则f等于(　　).
A.-3或0 B.-3或3
C.0 D.3或0
6.如图,已知函数y=tan的部分图象与坐标轴分别交于点D,E,F,则△DEF的面积等于(　　).
A. B.
C.π D.2π
7.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则Atan φ等于(　　).
A. B.-
C. D.-
8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间()单调递增,直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f(-)=(　　).
A.- B.-
C. D.
二、选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.已知扇形的半径为r,弧长为l,若其周长为4,则下列说法正确的是(　　).
A.若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为1
B.该扇形面积的最大值为1
C.当该扇形面积最大时,其圆心角为2
D.的最小值为9
10.在平面直角坐标系中,若角α的终边与单位圆交于点P(n>0),将角α的终边按逆时针方向旋转后得到角β的终边,记角β的终边与单位圆的交点为Q,则下列结论正确的为(　　).
A.tan α= B.sin β=
C.cos β= D.Q
11.对于函数f(x)=下列说法中错误的是(　　).
A.该函数的值域是[-1,1]
B.当且仅当x=2kπ+(k∈Z)时,函数取得最大值1
C.当且仅当x=2kπ-(k∈Z)时,函数取得最小值-1
D.当且仅当2kπ+π12.已知函数f(x)=sin,则(　　).
A.函数f(x)的图象关于y轴对称
B.x∈[2,4]时,函数f(x)的值域为[1,]
C.函数f(x)的图象关于点(5,0)中心对称
D.函数f(x)的最小正周期是8
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)
13.已知014.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则该函数的解析式为　　　　　,该函数的递增区间为　　　　　　　　　.
15.已知函数f(x)=sin2x-2asin x+1的最大值为3,则a=　　　　　.
16.某地一天中的6时至14时的温度变化曲线如图所示,其近似地满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,<φ<π)的半个周期的图象,则该天8时的温度大约为　　　　　.
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知f(α)=.
(1)若α=-,求f(α)的值;
(2)若α为第二象限角,且cos,求f(α)的值.
18.(12分)设函数f(x)=sin.
(1)请作出该函数在长度为一个周期的闭区间上的大致图象;
(2)试判断该函数的奇偶性,并运用函数的奇偶性定义说明理由;
(3)求该函数的递增区间.
19.(12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求图中a,b的值及函数f(x)的递减区间;
(3)若将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,得到g(x)的图象关于直线x=对称,求m的最小值.
20.(12分)如图,某公园中的摩天轮匀速转动,每转动一圈需要30 min,其中心O距离地面83.5 m,半径为76.5 m,小明从最低处登上摩天轮,那么他与地面的距离将随时间的变化而变化,以他登上摩天轮的时刻开始计时,请回答下列问题:
(1)试确定小明在时刻t(单位:min)时距离地面的高度;
(2)在摩天轮转动的一圈内,有多长时间小明距离地面的高度超过121.75 m
21.(12分)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,其中A(,2),B(-,0).
(1)求ω,φ的值;
(2)求函数f(x)的递增区间;
(3)求函数f(x)在区间[π,3π]上的值域.
22.(12分)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示,M,N分别是它与x轴的两个不同交点,D是M,N之间的最高点且横坐标为,点F(0,1)是线段DM的中点.
(1)求函数f(x)的解析式及在区间[π,2π]上的递增区间;
(2)若当x∈[-]时,函数h(x)=f2(x)-af(x)+1的最小值为,求实数a的值.
答案：
1.B　A.负角不是锐角,比如“-30°”的角,故错误;B.钝角的范围是“90°<α<180°”,是第二象限角,故正确;C.第二象限角取“91°”,第一象限角取“361°”,故错误;D.若角α与角β的终边相同,则α=2kπ+β,k∈Z,故错误.
2.A　根据任意角的三角函数定义,可得tan α=3.
所以tan α-=1.故选A.
3.B　由题意,函数y=2sin(2x-)=2sin[2(x-)],y=2sin=2sin[2(x+)],
又由,故把函数y=2sin[2(x+)]的图象上所有的点向右平移个单位长度,可得y=2sin[2(x-)+]=2sin的图象.
4.C　当x∈时,2x+,令2x+=π,解得x=,故x1+x2=.
5.B　因为函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意x都有f=f(-x),
所以直线x=是函数图象的对称轴,所以f=-3或3.
6.A　在y=tan中,令x=0,得y=tan=1,故OD=1.
又函数y=tan的最小正周期T=,所以EF=.
所以S△DEF=·EF·OD=×1=.
7.A　由题图可得A=,
即T=π,再由T=,得ω=2;
由五点作图法可知,ω×+φ=π,解得φ=,
故Atan φ=tan .
8.D　由题意,知函数f(x)的周期T=2()=π,所以|ω|==2,则ω=±2,不妨取ω=2.
又由题意,得f()=-1,即sin(2×+φ)=-1,所以+φ=2kπ+(k∈Z),所以φ=2kπ+(k∈Z),所以f(-)=sin[2×(-)+2kπ+]=sin.故选D.
9.ABC　由题意知2r+l=4,S=lr,l=αr,
对于选项A:当r=1时,l=2,可得S=×2×1=1,故选项A正确;
对于选项B,C:S=(4-2r)r=(2-r)r=-r2+2r,当r=1时S取得最大值,此时S=1,l=2,α=2,故选项B,C正确;
对于选项D:当r=1时,l=2,=2+<9,故选项D不正确.
10.ABD　由题意cos α=,α在第一象限,
则sin α=,tan α=,β=α+,cos β=cos(α+)=-sin α=-,sin β=sin=cos α=,可得ABD正确,C错误.
11.ABC　画出函数f(x)的图象(图略),由图象容易看出:该函数的值域是[-,1];当且仅当x=2kπ+或x=2kπ,k∈Z时,函数取得最大值1;当且仅当x=2kπ+,k∈Z时,函数取得最小值-;
当且仅当2kπ+π12.BCD　f(x)=sin,由x-+kπ,k∈Z,得x=4k+3,k∈Z,故A错误;
因为x∈[2,4],则x-,所以≤sin≤1,所以1≤sin,故B正确;
由x-=kπ,k∈Z,得x=4k+1,k∈Z,
所以f(x)的对称中心为(4k+1,0),故C正确;
因为T==8,故D正确.
13.　∵0∴sin x=,
∴tan x=.
14.f(x)=2sin　[-+kπ,kπ-],k∈Z　由图象可知A=2,,
∴ω==2,∴函数f(x)=2sin(2x+φ),又点在图象上,∴2=2sin,
∵0<φ<π,∴φ=,
∴所求函数解析式为f(x)=2sin.
由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
可得-+kπ≤x≤kπ-,k∈Z.∴函数的递增区间为[-+kπ,kπ-],k∈Z.
15.±　依题意f(x)=sin2x-2asin x+1=(sin x-a)2+1-a2.令sin x=t,t∈[-1,1],则y=(t-a)2+1-a2(-1≤t≤1).由于二次函数y=(t-a)2+1-a2(-1≤t≤1)的图象开口向上,故在区间的端点取得最大值.
若t=-1时取得最大值,即(-1-a)2+1-a2=3,a=,此时二次函数图象的对称轴方程为t=a=,根据二次函数性质可知t=-1时取得最大值,符合题意.
若t=1时取得最大值,即(1-a)2+1-a2=3,解得a=-,此时二次函数图象的对称轴方程为t=a=-,根据二次函数性质可知t=1时取得最大值,符合题意.
故a=±.
16.13 ℃　由题意得A=×(30-10)=10,
b=×(30+10)=20.
由周期T=2×(14-6)=16,知=16,
得ω=.故y=10sin+20.
将x=6,y=10代入得10sin+20=10,
即sin=-1.
由于<φ<π,可得φ=.
故y=10sin+20,x∈[6,14].
当x=8时,y=10sin+20=20-5≈13,即该天8 h的温度大约为13 ℃.
17.解 (1)∵f(α)==-cos α,
∴f=-cos=-cos=-.
(2)∵cos,∴sin α=.
∵α为第二象限角,不妨设y=3,r=5,则x=-4,
∴f(α)=-cos α=.
18.解 (1)函数f(x)=sin,
列表:
2x+ 0 π 2π
x -
f(x) 0 0 - 0
描点、连线作图.
(2)该函数为非奇非偶函数,∵f(-x)=sin(-2x+),
而f(x)=sin,-f(x)=-sin(2x+),
∴f(-x)≠f(x),且f(x)≠-f(x),故f(x)为非奇非偶函数.
(3)令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,可得该函数的递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).
19.解 (1)由题意可知,A=2,T=,得T=π,ω==2.将(,0)代入f(x)=2sin(2x+φ),得+φ=kπ,k∈Z,
又∵|φ|<,∴φ=,∴f(x)=2sin(2x+).
(2)由题可知,a=-π=-,b=f(0)=2sin =1,令2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,故函数f(x)的递减区间为[kπ+,kπ+],k∈Z.
(3)∵g(x)=f(x+m)=2sin(2x+2m+),
∴2×+2m++kπ,k∈Z,∴m=-,k∈Z,又m>0,∴mmin=-.
20.解 (1)设小明在时刻t(单位:min)时距离地面的高度为y(单位:m),则可设y=83.5-76.5cos ωt(其中ω为摩天轮转动的角速度),因为每转动一圈需要30 min,
所以ω=(rad/min),所以y=83.5-76.5cost(t≥0).
(2)令83.5-76.5cost=121.75,得cost=-,当0≤t≤30时,解得t1=10或t2=20,t2-t1=10,所以在摩天轮转动的一圈内,有10 min小明距离地面的高度超过121.75 m.
21.解 (1)依题意,=3π,故T=4π,ω=.
又f=2,故+φ=+2kπ(k∈Z),解得φ=+2kπ(k∈Z).因为|φ|<,所以φ=.
(2)依题意,f(x)=2sin(x+),
令-+2kπ≤x++2kπ,k∈Z,
得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,
故-+4kπ≤x≤+4kπ,k∈Z,故函数f(x)的递增区间为[-+4kπ,+4kπ],k∈Z.
(3)当x∈[π,3π]时,x∈[],x+∈[],故sin(x+)∈[-1,],故f(x)∈[-2,],即函数f(x)在区间[π,3π]上的值域为[-2,].
22.解 (1)因为F为DM中点,F(0,1),所以D(,2),M(-,0),则A=2,T==4×[-(-)]=2π,ω=1,所以f(x)=2sin(x+φ).
由f=2sin=2,
得+φ=+2kπ,k∈Z φ=+2kπ,k∈Z.
又因为0<φ<,则φ=,所以f(x)=2sin.
令-+2kπ≤x++2kπ,k∈Z -+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.
又因为x∈[π,2π],所以递增区间为[,2π].
(2)因为-≤x≤≤x+,
所以≤sin(x+)≤1 1≤f(x)≤2.
令t=f(x),t∈[1,2],则h(x)=g(t)=t2-at+1,
其图象的对称轴方程为t=.
①当≤1,即a≤2时,g(t)min=g(1)= a=;
②当1<<2,即2③当≥2,即a≥4时,g(t)min=g(2)= a=(舍).
综上可得,a=.
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