2025北师版高中数学必修第二册练习题--第2章　§2　2.1　向量的加法（含解析）

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2025北师版高中数学必修第二册
§2　从位移的合成到向量的加减法
2.1　向量的加法
课后训练巩固提升
A组
1.如图,在正六边形ABCDEF中,=(　　).
A.0 B.
C. D.
2.已知向量a表示“向东航行1 km”,向量b表示“向南航行1 km”,则a+b表示(　　).
A.向东南航行 km
B.向东南航行2 km
C.向东北航行 km
D.向东北航行2 km
3.(多选题)设a=()+(),b是任一非零向量,则在下列结论中,正确的是(　　).
A.a∥b B.a+b=a
C.a+b=b D.a+b<|a|+|b|
4.已知向量a∥b,且|a|>|b|>0,则向量a+b的方向(　　).
A.与向量a方向相同
B.与向量a方向相反
C.与向量b方向相同
D.不确定
5.()+()+等于(　　).
A. B.
C. D.
6.若在△ABC中,AB=AC=1,||=,则△ABC的形状是(　　).
A.等边三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
7.根据图示填空,其中a=,b=,c=,d=.
(1)a+b+c=　　　　　.
(2)b+d+c=　　　　　.
8.如图,菱形ABCD的边长为1,它的一个内角∠ABC=60°,=a,=b,则|a+b|=　　　　　.
9.在长江某渡口上,江水以2 km/h的速度向东流,长江南岸的一艘渡船的速度为2 km/h,要使渡船渡江的时间最短,求渡船实际航行的速度大小和方向.
B组
1.如图,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,对角线AC与BD相交于点O,则=(　　).
A. B.
C. D.
2.如图,点O是正六边形ABCDEF的中心,则=(　　).
A.0 B.0
C. D.
3.(多选题)已知点D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,AC的中点,则下列等式正确的是(　　).
A.
B.=0
C.
D.
4.已知P为△ABC所在平面内一点,当成立时,点P位于(　　).
A.△ABC的AB边上
B.△ABC的BC边上
C.△ABC的内部
D.△ABC的外部
5.如图,已知电线AO与天花板的夹角为60°,电线AO所受拉力|F1|=24 N.绳BO与墙壁垂直,所受拉力|F2|=12 N,则F1与F2的合力大小为　　　　　,方向为　　　　　.
6.设P为 ABCD所在平面内一点,则:①;②;③.其中成立的是　　　　　.(填序号)
7.如图,已知D,E,F分别为△ABC的三边BC,AC,AB的中点.求证:=0.
8.如图,已知向量a,b,c,d.
(1)求作a+b+c+d;
(2)设|a|=2,e为单位向量,求|a+e|的最大值.
答案：
A组
1.D　.
2.A　由向量加法的平行四边形法则可得|a+b|=,方向为东南方向,所以A正确.
3.AC　由题意,a==0,易知A,C正确,B错误;平面向量不能比较大小,故D错误.
4.A　如果a和b方向相同,那么它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同;如果它们的方向相反,那么a的模大于b的模,则它们的和的方向与a的方向相同.
5.C　()+()+=()+()+.
6.D　以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,
∵AB=AC=1,AD=,
∴∠ABD为直角,则该四边形为正方形,
∴∠BAC=90°.
7.(1)　(2)　(1)a+b+c=.
(2)b+d+c=.
8.1　因为四边形ABCD为菱形,
所以||=||=1.连接AC(图略),又∠ABC=60°,所以△ABC为等边三角形.
因为,所以||=||=1,
即|a+b|=1.
9.解 要使渡江的时间最短,渡船应向垂直于对岸的方向行驶,设渡船速度为v1,水流速度为v2,船实际航行的速度为v,则v=v1+v2,依题意作出平行四边形,如图.
在Rt△ABC中,||=|v1|=2,
||=|v2|=2,
∴||=|v|==4,
tan θ=,
∴θ=60°.∴渡船实际航行的速度大小为4 km/h,方向为东偏北60°.
B组
1.B　.
2.A　连接OB(图略).由正六边形的性质,可知△OAB与△OBC都是等边三角形,
∴OA=AB=BC=OC,∴四边形OABC是平行四边形,∴,
∴=0,故选A.
3.ABC　如图,对于A选项,,正确;
对于B选项,=0,正确;
对于C选项,根据向量加法的平行四边形法则可知,正确;
对于D选项,,错误.
4.D　如图,,则P在△ABC的外部.
5.12 N　竖直向上　以为邻边作平行四边形BOAC,
则F1+F2=F,即,则∠OAC=60°,||=24,||=||=12,
∴∠ACO=90°,∴||=12.
∴F1与F2的合力大小为12 N,方向为竖直向上.
6.②　以PA,PC为邻边作平行四边形PAEC,则PE与AC交于AC的中点O,同样以PB,PD为邻边作平行四边形PBFD,对角线BD与PF交于BD的中点O',则O与O'重合,所以.
7.证明 连接EF,由题意知,.
由平面几何知识可知,.
所以=()+()+()=()+()=()+0==0.
8.解 (1)如图①,在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,=d,则=a+b+c+d.
(2)如图②,在平面内任取一点O,作=a,=e,则a+e=.
因为e为单位向量,所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示),由图可知当点B在点B1,即O,A,B1三点共线时|a+e|最大,最大值是3.
②
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