2025北师版高中数学必修第二册练习题--第2章　§3　3.1　向量的数乘运算（含解析）

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2025北师版高中数学必修第二册
§3　从速度的倍数到向量的数乘
3.1　向量的数乘运算
课后训练巩固提升
1.(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b)等于(　　).
A.2a B.b
C.0 D.0
2.在△ABC中,点D满足,则=(　　).
A. B.
C. D.
3.如图,在 ABCD中,E是BC的中点,若=a,=b,则=(　　).
A.a-b B.a+b
C.a+b D.a-b
4.设a是非零向量,λ是非零实数,则下列结论正确的是(　　).
A.a与-λa的方向相反
B.|-λa|≥|a|
C.a与λ2a的方向相同
D.|-λa|≥|λ|a
5.(多选题)已知D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,给出下列结论,其中正确的有(　　).
A.=-b B.=a-b
C.=a+b D.a
6.已知的终点A,B,C在一条直线上,且=-3,设=p,=q,=r,则下列等式成立的是(　　).
A.r=-p+q B.r=-p+2q
C.r=p-q D.r=-q+2p
7.如图,在△ABC中,设E为BC边的中点,则3+2=(　　).
A. B.2
C. D.2
8.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是△ABC的重心,动点P满足+2),则点P一定为(　　).
A.AB边中线的中点
B.AB边中线的三等分点(非重心)
C.BC边中线的中点
D.AB边的中点
9.若向量a=3i-4j,b=5i+4j,则(a-b)-3(a+b)+(2b-a)=　 .
10.已知a与b,且5x+2y=a,3x-y=b,求x,y.
11.已知点G是△ABC的重心,=2.
(1)用表示;
(2)用表示.
12.如图,在 ABCD中,E是BC的中点,F是AB的中点,设a=,b=,用a,b表示.
答案：
1.C　(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b)=a-b-a-b+a+b=0.
2.C　如图,由题意,)=.
3.D　=a-b.
4.C　A项,当λ<0时,a与-λa的方向相同,错误;B项,当|λ|<1时,不等式不成立,错误;C项,因为λ2>0,所以正确;D项,不等式左边为长度,右边为向量,故不能比较大小,错误;综上所述,应选C.
5.AC　如图:
=-=-b,则A项正确;
=a+b,则B项错误;
=a+b,则C项正确;
=-=-a,则D项错误.
6.A　因为r=-3-3()=p-3q+3r,
所以2r=3q-p,r=-p+q.
7.D　3+2=3()+
=3=2-2=2()=2()=2.
8.B　∵O是△ABC的重心,∴=0,
∴(-+2)=,
∴点P是线段OC的中点,即AB边中线的三等分点(非重心).
9.-16i+j　(a-b)-3(a+b)+(2b-a)=a-b-3a-2b+2b-a=-a-b=-(3i-4j)-(5i+4j)=-11i+j-5i-4j=-16i+j.
10.解 联立方程组解得
11.解 (1)设BC的中点为M,则2,
∴).
∵G为△ABC的重心,∴)=).
(2)∵=2,∴,因此,)-).
12.解 由题意解得
故a+b.
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