2025北师版高中数学必修第二册练习题--第2章　§3　3.2　向量的数乘与向量共线的关系（含解析）

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2025北师版高中数学必修第二册
3.2　向量的数乘与向量共线的关系
课后训练巩固提升
1.已知向量a,b是两个不共线的向量,且向量ma-3b与a+(2-m)b共线,则实数m的值为(　　).
A.-1或3 B.
C.-1或4 D.3或4
2.在△ABC中,D是AB边上的一点,若+λ,则λ等于(　　).
A. B.
C. D.
3.已知△ABC,点P满足=2,则(　　).
A.点P不在直线BC上
B.点P在CB的延长线上
C.点P在线段BC上
D.点P在BC的延长线上
4.(多选题)已知4-3,则下列结论正确的是(　　).
A.A,B,C,D四点共线
B.C,B,D三点共线
C.||=||
D.||=3||
5.已知△ABC,向量=λ()(λ∈R),则点P的轨迹通过△ABC的(　　).
A.垂心 B.内心
C.外心 D.重心
6.在△OAB中,P为线段AB上的一点,4=3,且=λ,则(　　).
A.λ=2 B.λ=3
C.λ=4 D.λ=5
7.设A,B,C是平面内共线的三个不同的点,点O是A,B,C所在直线外任意一点,且满足=x+y,若点C在线段AB的延长线上,则(　　).
A.x<0,y>1 B.y<0,x>1
C.08.已知点P在△ABC所在平面上,且满足=2,则等于(　　).
A. B.
C. D.
9.过△ABC的重心任作一直线分别交边AB,AC于点D,E.若=x=y,xy≠0,则等于(　　).
A.4 B.3
C.2 D.1
10.已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若-3+2=0,则=　　　　　.
11.已知两个不共线向量e1,e2,且=e1+λe2,=3e1+4e2,=2e1-7e2,若A,B,D三点共线,则λ=　　　　　.
12.如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=AD,=a,=b.
(1)用a,b分别表示向量;
(2)求证:B,E,F三点共线.
13.如图,已知E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,用向量法证明:四边形EFGH是平行四边形.
14.已知平行四边形ABCD,=a,=b,M为AB的中点,N为BD上靠近B的三等分点.
(1)用a,b表示向量;
(2)求证:M,N,C三点共线.
答案：
1.A　因为向量ma-3b与a+(2-m)b共线,且向量a,b是两个不共线的向量,所以m=,解得m=-1或m=3.
2.B　∵A,B,D三点共线,∴+λ=1,λ=.
3.B　因为=2,得,
所以,所以B,P,C三点共线,且点P在CB的延长线上,故选B.
4.BD　因为4-3,所以3-3,所以3,
因为有公共端点B,所以C,B,D三点共线,且||=3||,所以BD正确,A错误,
由4-3,得=3-3=3,所以||≠||,所以C错误,故选BD.
5.D　设D为BC的中点,则=2,故=2λ,即点P在中线AD上,可知点P轨迹必过△ABC的重心.
6.C　因为4=3,所以3-3,所以3,3.所以=4.
7.A　由题可得x+y=1,所以=x+y可化为=x+(1-x),整理得=x(),即=x.因为点C在线段AB的延长线上,所以反向,所以x<0,y=1-x>1.
8.B　因为=2=2(),所以3,所以共线,且3||=||,所以.
9.D　设重心为O,因为重心分中线的比为2∶1,所以有=3.
由于,则,
又因为O,D,E三点共线,所以=1.
10.2　∵-3+2=0,
∴=2(),∴=2,∴=2.
11.-　由=3e1+4e2,=2e1-7e2,得=5e1-3e2.
因为=e1+λe2,且A,B,D三点共线,所以存在实数μ,使得=μ,即e1+λe2=μ(5e1-3e2),又e1,e2不共线,所以解得λ=-.
12.(1)解 连接BE,BF.∵)=(a+b),∴(a+b).
∵b,∴=-a+b.
(2)证明 由(1)知=-a+b,=-a+b=(-a+b),故.
又有公共点B,得B,E,F三点共线.
13.证明 在△BCD中,∵G,F分别是CD,CB的中点,
∴.∴.同理.
∴,即GF∥HE,且GF=HE,
∴四边形EFGH是平行四边形.
14.(1)解 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴=a.
∵M为AB的中点,∴b,
∴b+a.
∵N为BD上靠近B的三等分点,∴,
∴)+(b-a)+a=a+b.
(2)证明 由(1)知,
又有公共点C,∴M,N,C三点共线.
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