2025北师版高中数学必修第二册练习题--第2章　§4　4.1　平面向量基本定理（含解析）

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2025北师版高中数学必修第二册
§4　平面向量基本定理及坐标表示
4.1　平面向量基本定理
课后训练巩固提升
A组
1.如果e1,e2是平面α内所有向量的一组基,那么下列说法正确的是(　　).
A.已知实数λ1,λ2,则向量λ1e1+λ2e2不一定在平面α内
B.对平面α内任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2可以不唯一
C.若有实数λ1,λ2使λ1e1=λ2e2,则λ1=λ2=0
D.对平面α内任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2不一定存在
2.设点D为△ABC中BC边上的中点,O为AD边上靠近点A的三等分点,则(　　).
A.=-
B.
C.
D.=-
3.已知非零向量不共线,且2=x+y,若=λ(λ∈R),则x,y满足的关系式是(　　).
A.x+y-2=0 B.2x+y-1=0
C.x+2y-2=0 D.2x+y-2=0
4.在△ABC中,,EF∥BC,EF交AC于点F,设=a,=b,则等于(　　).
A.-a+b B.a-b
C.a-b D.a+b
5.(多选题)已知{e1,e2}是表示一个平面内所有向量的一组基,则下列四组向量中,可以作为一组基的是(　　).
A.e1和e1+e2
B.e1-2e2和e2-2e1
C.e1+e2和e1-e2
D.e1-2e2和4e2-2e1
6.已知e1,e2不共线,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,要使a,b能作平面内所有向量的一组基,则实数λ的取值范围是　　　　　　　　.
7.在△ABC中,O,D分别为边AB,BC的中点,若=x+y,则x+y=　　　　　.
8.已知a=e1+e2,b=2e1-e2,c=-2e1+4e2(e1,e2是同一平面内的两个不共线向量),则c=　　　　　.(用a,b表示)
9.如图,平面内有三个向量.其中的夹角为120°,的夹角为30°,且||=||=1,||=2,若=λ+μ(λ,μ∈R),求λ+μ的值.
B组
1.已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,=a,=b,则=(　　).
A.a-b B.a-b
C.a+b D.a+b
2.如图,在平行四边形ABCD中,M,N分别为AB,AD上的点,且,连接AC,交MN于点P,若,则点N在AD上的位置为(　　).
A.AD中点
B.AD上靠近点D的三等分点
C.AD上靠近点D的四等分点
D.AD上靠近点D的五等分点
3.如图,已知=a,=b,任意点M关于点A的对称点为S,点S关于点B的对称点为N,则向量=　　　　　.(用a,b表示向量)
4.在平行四边形ABCD中,O为AC与BD的交点,2,若=x+y,则x+y=　　　　　.
5.在△ABC中,AB=5,AC=2,BC上的高AD=4,且垂足D在线段BC上,H为△ABC的垂心且=x+y(x,y∈R),则=　　　　　.
6.如图,在△ABC中,点M在边BC上,且,点N在边AC上,且=3,AM与BN相交于点P,设=a,=b,用a,b表示.
7.在△ABC中,过重心G的直线l交边AB于P,交边AC于Q,若=p=q,其中p,q为非零常数.
求证:(1)=0;
(2)为定值.
答案：
A组
1.C　选项A中,由平面向量基本定理知λ1e1+λ2e2与e1,e2共面,所以A项不正确;选项B中,实数λ1,λ2有且仅有一对,所以B项不正确;选项D中,实数λ1,λ2一定存在,所以D项不正确;很明显C项正确.
2.D　如图,D为中点,O为靠近A的三等分点,
=-=-)=-=-.
3.A　由=λ,得=λ(),即=(1+λ)-λ.
又2=x+y,
∴消去λ得x+y=2.
4.A　∵,∴=-.
又EF∥BC,∴),
∴=-)==-a+b.
5.ABC　根据平面基的定义知,向量e1,e2为不共线非零向量,即不存在实数λ,使得e1=λe2,
对于A,向量e1和e1+e2,不存在实数λ,使得e1=λ(e1+e2),所以e1和e1+e2可以作为一组基,符合题意;
对于B,向量e1-2e2和e2-2e1,假设存在实数λ,使得e1-2e2=λ(e2-2e1),
可得此时方程组无解,所以e1-2e2和e2-2e1可以作为一组基,符合题意;
对于C,向量e1+e2和e1-e2,假设存在实数λ,使得e1+e2=λ(e1-e2),
可得此时方程组无解,所以e1+e2和e1-e2可以作为一组基,符合题意;
对于D,向量e1-2e2和4e2-2e1,假设存在实数λ,使得e1-2e2=λ(4e2-2e1),
可得解得λ=-,所以e1-2e2和4e2-2e1可以作为一组基,不符合题意.故选ABC.
6.λ≠4　若向量a,b共线,则有λ=4,故当向量a,b不共线时,λ≠4.
7.　如图所示:
因为O,D分别为边AB,BC的中点,
所以,
所以=-+2,
即x=-,y=2,x+y=.
8.2a-2b　设c=λa+μb,则-2e1+4e2=λ(e1+e2)+μ(2e1-e2)=(λ+2μ)e1+(λ-μ)e2.
因为e1,e2不共线,所以
解得故c=2a-2b.
9.解 如图,以OA,OB所在射线为邻边,OC为对角线作平行四边形ODCE,
则.在Rt△OCD中,
∵||=2,∠COD=30°,∠OCD=90°,∴||=4,||=2,
故=4=2,即λ=4,μ=2,∴λ+μ=6.
B组
1.D　连接CD,OD,因为点C,D是半圆弧AB的两个三等分点,所以,可得CD∥AB,∠CAD=∠DAB=×90°=30°.因为OA=OD,∠ADO=∠DAO=30°,由此可得∠CAD=∠ADO=30°,所以AC∥DO,所以四边形ACDO为平行四边形,可得a,=b,a+b.
2.B　设=λ,因为)=+λ)=,
又M,N,P三点共线,所以=1,
解得λ=,所以,
所以点N为AD上靠近点D的三等分点.
3.2b-2a　连接AB,依题意=b-a.由于A,B分别是线段MS,NS的中点,故=2=2b-2a.
4.-　由向量的加法法则得,)+=-,所以所以x+y=-.
5.　因为AD⊥BC,AB=5,AC=2,BC上的高AD=4,所以BD=3,CD=2,所以,即,即.
因为H为△ABC的垂心,所以A,H,D三点共线,因此存在实数λ,使得=λ,
所以,又=x+y,所以.
6.解 ∵A,P,M三点共线,
∴存在实数λ使得=λ,同理可设=μ.
∵+λ+λ()=(1-λ)+μ+μ()=(1-μ),
∴解得
∴=(1-a+b.
7.证明 (1)由题意,延长AG交BC于D,则D为BC中点,可得=2,
因为G是重心,可得=-2,
所以=-2+2=0.
(2)设=a,=b,
因为=p=q,可得a,b,)=(a+b),
又因为P,G,Q三点共线,所以存在λ,使得=λ,即=λ(),即b-a=λ(a+b-a)=()a+b,
可得整理得λ=,
即,即2-+1,所以=1.
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