2025北师版高中数学必修第二册练习题--第2章　§4　4.2　平面向量及运算的坐标表示（含解析）

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2025北师版高中数学必修第二册
4.2　平面向量及运算的坐标表示
课后训练巩固提升
1.已知向量a=(2,1),b=(3,4),c=(k,2)(k∈R).若(3a-b)∥c,则k的值为(　　).
A.-8 B.-6
C.-1 D.6
2.已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量=(　　).
A.(-7,-4) B.(7,4)
C.(-1,4) D.(1,4)
3.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若(ma+nb)∥(a-2b),则等于(　　).
A.-2 B.2
C.- D.
4.(多选题)已知向量a=(1,-2),b=(-1,2),则下列结论正确的是(　　).
A.a∥b
B.a与b可以作为一组基
C.a+b=0
D.b-a与a方向相反
5.(多选题)以A(0,1),B(1,0),C(3,2)三个点为顶点作平行四边形,则第四个顶点D的坐标是(　　).
A.(2,3)
B.(2,-1)
C.(4,1)
D.(-2,-1)
6.若a=(,cos α),b=(3,sin α),α为锐角,且a∥b,则α=　　　　　.
7.已知A(-1,-2),B(1,8),C三点共线,则=λ,则λ=　　　　　,x=　　　　　.
8.对于任意的两个向量m=(a,b),n=(c,d),规定运算“”为mn=(ac-bd,bc+ad),运算“”为mn=(a+c,b+d).设f=(p,q),若(1,2)f=(5,0),则(1,2)f=　　　　　.
9.已知=(1,1),=(3,-1),=(a,b).
(1)若A,B,C三点共线,求a,b满足的关系式;
(2)若=2,求点C的坐标.
10.已知向量=(4,3),=(-3,-1),点A(-1,-2),O为坐标原点.
(1)求线段BD的中点M的坐标;
(2)若点P(2,y)满足=λ(λ∈R),求y与λ的值.
答案：
1.B　由题意得3a-b=(3,-1),因为(3a-b)∥c,
所以6+k=0,解得k=-6.
2.A　设C(x,y),∵A(0,1),=(-4,-3),
∴解得
∴C(-4,-2),又B(3,2),∴=(-7,-4),选A.
3.C　由题意得ma+nb=(2m-n,3m+2n),a-2b=(4,-1).
∵(ma+nb)∥(a-2b),∴-(2m-n)-4(3m+2n)=0,∴=-,故选C.
4.ACD　由题意,向量a=(1,-2),b=(-1,2),可得1×2-(-2)×(-1)=0,
所以a∥b,所以A正确,B不正确;
又由a+b=(1-1,-2+2)=(0,0),所以C正确;
因为b-a=(-2,4),所以b-a=-2a,所以b-a与a方向相反,所以D正确.
5.ACD　设D(x,y),若,则(1,-1)=(x-3,y-2),即解得即D(4,1);
若,则(1,-1)=(3-x,2-y),
即解得即D(2,3);
若,则(-2,-2)=(x,y-1),
即解得即D(-2,-1).
6.　∵a=(,cos α),b=(3,sin α),a∥b,
∴sin α-3cos α=0,即tan α=.
又α为锐角,故α=.
7.3　　由A(-1,-2),B(1,8),C,可得,
因为=λ,所以=λ·,可得解得
8.(2,0)　由(1,2)f=(5,0),可得解得
故(1,2)f=(1,2)(1,-2)=(2,0).
9.解 由题意知,=(2,-2),=(a-1,b-1).
(1)∵A,B,C三点共线,∴,
∴2(b-1)-(-2)×(a-1)=0,∴a+b=2.
(2)∵=2,
∴(a-1,b-1)=2(2,-2)=(4,-4),
∴解得
∴点C的坐标为(5,-3).
10.解 (1)=(-1,-2)+(4,3)=(3,1),即B(3,1).
=(-1,-2)+(-3,-1)=(-4,-3),即D(-4,-3).
设M(x,y),由中点坐标公式得
∴M.
(2)=(3,1)-(2,y)=(1,1-y),
=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).
∵=λ,∴(1,1-y)=λ(-7,-4),
∴解得
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