2025北师版高中数学必修第二册练习题--第2章　§5　5.1　向量的数量积（含解析）

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2025北师版高中数学必修第二册
§5　从力的做功到向量的数量积
5.1　向量的数量积
课后训练巩固提升
1.已知|b|=3,a在b方向上的投影数量是,则a·b为(　　).
A. B.3
C.2 D.
2.(多选题)设向量a,b满足|a|=|b|=1,且|b-2a|=,则以下结论正确的是(　　).
A.a⊥b
B.|a+b|=2
C.|a-b|=
D.向量a,b的夹角为60°
3.已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),则(　　).
A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1
C.λμ=1 D.λμ=-1
4.已知平面向量a,b满足|a|=,|b|=2,a·b=-3,则|a+2b|=(　　).
A.1 B.
C.4+ D.2
5.已知向量a,b均为非零向量,(a-2b)⊥a,|a|=|b|,则a,b的夹角为(　　).
A. B.
C. D.
6.已知边长为1的菱形ABCD,∠BAD=60°,点E满足BE=EC,则的值是(　　).
A.- B.-
C.- D.-
7.设单位向量e1,e2的夹角为,a=e1+2e2,b=2e1-3e2,则b在a方向上的投影数量为(　　).
A.- B.-
C. D.
8.已知单位向量e1,e2的夹角为α,且cos α=,若向量a=3e1-2e2,则|a|=　　　　　.
9.已知|a|=3,|b|=4,且(a-2b)·(2a+b)≥4,则a与b的夹角θ的取值范围是　　　　　.
10.在△ABC中,AB=AC=2,BC=2,点D满足=2,则的值为　　　　　.
11.设向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.
12.如图,在 ABCD中,=a,=b,.
(1)用a,b表示;
(2)若|a|=1,|b|=4,∠DAB=60°,分别求||和的值.
13.已知平面向量a,b满足|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.
(1)求a与b的夹角θ;
(2)求向量a在向量3a+2b上的投影数量.
14.已知a+b+c=0,|a|=3,|b|=5,|c|=7.是否存在实数μ,使μa+b与a-2b垂直
答案：
1.A　∵|a|cos=,|b|=3,
∴a·b=|a|·|b|cos=3×.
2.AC　|b-2a|2=|b|2+4|a|2-4a·b=5,又因为|a|=|b|=1,所以a·b=0,所以a⊥b,所以A正确,D不正确;|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=2,故|a+b|=,所以B不正确,同理C正确.
3.D　方法一:由题意得,a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ).
∵(a+λb)⊥(a+μb),∴(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,解得λμ=-1.故选D.
方法二:由题意得,a2=12+12=2,b2=12+(-1)2=2,a·b=1×1+1×(-1)=0.∵(a+λb)⊥(a+μb),
∴(a+λb)·(a+μb)=a2+(λ+μ)a·b+λμb2=2+0+2λμ=0.解得λμ=-1.故选D.
4.B　根据题意,得|a+2b|=.故选B.
5.B　设a,b的夹角为θ,∵(a-2b)⊥a,且|a|=|b|,
∴a·(a-2b)=a2-2a·b=|a|2-2|a|2cos θ=0,
解得cos θ=.
∵0≤θ≤π,∴θ=.因此,a,b的夹角为.
6.C　因为,
所以=()·()
=×1×1××12-12=-.
7.A　依题意得e1·e2=1×1×cos =-,
|a|=,a·b=(e1+2e2)·(2e1-3e2)=2-6+e1·e2=-,
因此b在a方向上的投影数量为=-,故选A.
8.3　∵|a|2=(3e1-2e2)·(3e1-2e2)=9-12e1·e2+4=9-12×1×1×+4=9,∴|a|=3.
9.[,π]　∵(a-2b)·(2a+b)=2a2+a·b-4a·b-2b2=2×9-3|a||b|cos θ-2×16=-14-3×3×4cos θ≥4,∴cos θ≤-,∴θ∈[,π].
10.-　根据题意画出图形,如图所示.
AB=AC=2,BC=2,通过作BC边上的高并解直角三角形可得∠BAC=.根据题意可得,=()·)=×4+×2×2×(-)-×4=-.
11.解 由题意,∵=4,=1,e1·e2=1,
∴(2te1+7e2)·(e1+te2)=2t+(2t2+7)e1·e2+7t=2t2+15t+7,∴2t2+15t+7<0,解得-7∵当2te1+7e2与e1+te2共线时,
设2te1+7e2=λ(e1+te2)(λ<0) 2t2=7 t=-,λ=-,
∴当t=-时,2te1+7e2与e1+te2的夹角为π.
∴实数t的取值范围是(-7,-)∪(-,-).
12.解 (1)=-=-a+b.
(2)因为|a|=1,|b|=4,∠DAB=60°,
所以||2=(b-a)2=|b|2-a·b+×1×4×cos 60°+.
所以||=.
=(a+b)·(a-b)=|a|2+a·b-|b|2=×1×4×cos 60°-=-4.
13.解 (1)∵(2a-3b)·(2a+b)=61,
∴4a2-4a·b-3b2=61,
又|a|=4,|b|=3,∴a·b=-6,
∴cos θ==-.∵θ∈[0,π],∴θ=.
(2)∵|3a+2b|2=9a2+12a·b+4b2=108,
∴|3a+2b|=6,∴向量a在向量3a+2b上的投影数量为=2.
14.解 存在.∵若(μa+b)⊥(a-2b),则(μa+b)·(a-2b)=0,∴μa2-2b2-2μa·b+a·b=0.
∵a+b+c=0,∴c=-a-b,
则|c|2=|a+b|2=9+25+2a·b=49,∴a·b=.
∴9μ-2×25-2μ×=0.∴μ=-.
∴存在μ=-,使得μa+b与a-2b垂直.
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