2025北师版高中数学必修第二册练习题--第2章　§5　5.2　向量数量积的坐标表示--5.3　利用数量积计算长度与角度（含解析）

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2025北师版高中数学必修第二册
5.2　向量数量积的坐标表示
5.3　利用数量积计算长度与角度
课后训练巩固提升
1.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4),B(5,2),C(-1,-4),则该三角形为(　　).
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
2.(多选题)已知向量a=(1,),b=(-1,0),则(　　).
A.a-2b=(2,)
B.|a|=2|b|
C.(a+b)⊥b
D.a与b的夹角为
3.已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上有一点P,使有最小值,则点P的坐标是(　　).
A.(-3,0) B.(2,0)
C.(3,0) D.(4,0)
4.已知向量a=(1,2),b=(4,λ),若a⊥b,则向量2a+b与a的夹角θ等于(　　).
A. B.
C. D.
5.已知=(-3,-2),=(m,1),||=3,则=(　　).
A.7 B.-7
C.15 D.-15
6.设x,y∈R,向量a=(x,2),b=(3,y),c=(1,-1),且a⊥c,b∥c,则|a+b|等于(　　).
A.5 B.4
C. D.2
7.已知函数y=tan(x-)的部分图象如图所示,则()·的值为(　　).
A.1 B.4
C.6 D.7
8.设a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的投影数量为　　　　　.
9.已知a=(2,1)与b=(1,2),要使|a+tb|最小,则实数t的值为　　　　　.
10.已知平面向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),若|a|=2,|b|=3,a·b=-6,则向量a与b的夹角为　　　　　,的值为　　　　　.
11.已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).
(1)求证:AB⊥AD;
(2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标以及矩形ABCD的两对角线所成的锐角的余弦值.
12.设平面内三点A(1,0),B(0,1),C(2,5).
(1)试求向量2的模;
(2)若向量的夹角为θ,求cos θ;
(3)求向量上的投影数量.
答案：
1.B　∵=(2,-2),=(-4,-8),=(-6,-6),
∴||==2,||==4,||==6,
∴||2+||2=||2,∴△ABC为直角三角形,但不是等腰直角三角形.
2.BC　对于A,a-2b=(1,)-2(-1,0)=(3,),A错;对于B,|a|=2,|b|=1,则|a|=2|b|,B对;
对于C,a·b=-1,故(a+b)·b=a·b+b2=-1+1=0,所以,(a+b)⊥b,C对;
对于D,cos==-,因为0≤≤π,所以=,D错.
3.C　设P(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1),=(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1,故当x=3时,最小,此时点P的坐标为(3,0).
4.A　因为向量a=(1,2),b=(4,λ),a⊥b,所以1×4+2λ=0,解得λ=-2.
所以b=(4,-2),2a+b=(6,2),
所以设向量2a+b与a的夹角θ,则cos θ=.
又因为θ∈[0,π],所以θ=.
5.B　因为=(-3,-2),=(m,1),所以=(m+3,3),
即||==3 m=-3,所以=(3,2),=(-3,1),=-9+2=-7.
6.C　因为a⊥c,b∥c,所以a+b=(2,2)+(3,-3)=(5,-1),所以|a+b|=.
7.C　令y=tan=0,且A是第一个零点,则A(2,0);令y=tan=1,B是y轴右侧第一个周期内的点,所以x=3,则B(3,1),所以=(5,1),=(1,1),
则()·=5+1=6.
8.　a在b方向上的投影数量为.
9.-　∵a+tb=(2+t,1+2t),
∴|a+tb|=.
∴当t=-时,|a+tb|有最小值.
10.180°　-　设a,b的夹角为θ,
则a·b=|a||b|cos θ=6cos θ=-6,
故cos θ=-1,又0°≤θ≤180°,∴θ=180°,
即a,b共线且反向,∴a=-b,
∴x1=-x2,y1=-y2,∴=-.
11.(1)证明 ∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),
∴=(1,1),=(-3,3).
又=1×(-3)+1×3=0,
∴,即AB⊥AD.
(2)解 ∵,四边形ABCD为矩形,∴.
设点C坐标为(x,y),则=(x+1,y-4),
∴解得∴点C的坐标为(0,5).
∴=(-2,4).又=(-4,2),
∴=8+8=16>0,||=2,||=2.
设的夹角为θ,则cos θ=>0,
∴矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为.
12.解 (1)∵A(1,0),B(0,1),C(2,5),
∴=(0,1)-(1,0)=(-1,1),=(2,5)-(1,0)=(1,5),∴|2|==5.
(2)由(1)知,=(-1,1),=(1,5),故cos θ=.
(3)由(2)知向量的夹角的余弦值为cos θ=,且||=,
故向量上的投影数量为||cos θ=.
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