2025北师版高中数学必修第二册练习题--第2章　§6　6.1　第1课时　余弦定理（含解析）

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2025北师版高中数学必修第二册
§6　平面向量的应用
6.1　余弦定理与正弦定理
第1课时　余弦定理
课后训练巩固提升
1.(多选题)在△ABC中,若b=,c=3,B=30°,则a的值可以为(　　).
A. B.2
C.3 D.4
2.在△ABC中,a∶b∶c=3∶5∶7,则△ABC的最大角是(　　).
A.30° B.60°
C.90° D.120°
3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若(a+c-b)(a+c+b)=3ac,则A+C的大小为(　　).
A. B.
C. D.
4.在△ABC中,若bcos A=acos B,则△ABC是(　　).
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.锐角三角形
5.在△ABC中,若a=2,b=3,cos(A+B)=,则c=(　　).
A. B.4
C. D.3
6.在△ABC中,已知a,b是方程x2-5x+2=0的两根,C=120°,则c=　 .
7.在△ABC中,a=2,A=,则b2+c2的最大值为　　　　　.
8.在△ABC中,a,b,c为角A,B,C的对边,且b2=ac,则B的取值范围是 　　　.
9.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,c=2,cos A=,且b10.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=7,c=5,A=60°.
(1)求cos C;
(2)求△ABC的面积.
11.已知△ABC的顶点坐标分别为A(3,4),B(0,0),C(c,0).
(1)若c=5,求cos A的值;
(2)若A为钝角,求c的取值范围.
答案：
1.AB　根据b2=a2+c2-2accos B,得3=a2+9-2a×3×,即a2-3a+6=0,解得a=或a=2.
2.D　由a∶b∶c=3∶5∶7,知最大边为c,
∴最大角为C,设a=3k,b=5k,c=7k(k>0),则cos C==-,
又0°3.B　因为(a+c-b)(a+c+b)=3ac,
所以(a+c)2-b2=3ac,则a2+c2-b2=ac,
由余弦定理可得cos B=,
因为04.B　因为bcos A=acos B,所以b·=a·,所以b2+c2-a2=a2+c2-b2,所以a2=b2.所以a=b.故此三角形是等腰三角形.
5.A　因为cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C=,所以cos C=-.
又a=2,b=3,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=4+9-2×2×3×=17,所以c=,故选A.
6.　由根与系数的关系,得a+b=5,ab=2.
由(a+b)2=a2+b2+2ab,得a2+b2=52-2×2=21.
∴c2=a2+b2-2abcos 120°=23,∴c=.
7.8　由余弦定理,得b2+c2-a2=2bccos A,即b2+c2-22=2bc·,即b2+c2-4=bc.
又因为b2+c2≥2bc,所以b2+c2≥2(b2+c2-4),整理得b2+c2≤8,当且仅当b=c=2时,等号成立.所以b2+c2的最大值为8.
8.(0,]　cos B=,因为09.2　由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A可得,4=b2+12-6b b2-6b+8=0,解得b=4(舍)或b=2,故b=2.
10.解 (1)由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得b2+25-5b=49,解得b=-3(舍)或b=8.
故cos C=.
(2)由(1)得,S△ABC=bcsin A=×8×5sin 60°=10.
11.解 (1)因为A(3,4),B(0,0),所以AB=5.当c=5时,BC=5,
所以AC==2.
由余弦定理,知cos A==.
(2)因为A(3,4),B(0,0),C(c,0),
所以AC2=(c-3)2+42,BC2=c2.
由余弦定理,得cos A=.
因为A为钝角,所以cos A<0,即AB2+AC2-BC2<0,
所以52+(c-3)2+42-c2=50-6c<0,所以c>.
故c的取值范围为(,+∞).
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