2025北师版高中数学必修第二册练习题--第2章　§6　6.1　第3课时　用余弦定理、正弦定理解三角形（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2025北师版高中数学必修第二册
第3课时　用余弦定理、正弦定理解三角形
课后训练巩固提升
1.若等腰三角形的周长是底边长的5倍,则它的顶角的余弦值为(　　).
A.- B.
C.- D.
2.(多选题)已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足sin A=sin C且S△ABC=bc,则对△ABC判断错误的是(　　).
A.一定是等腰非等边三角形
B.一定是等边三角形
C.一定是直角三角形
D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形
3.在△ABC中,A=120°,a=,S△ABC=,则b等于(　　).
A.1 B.4
C.1或4 D.5
4.已知△ABC的周长为20,面积为10,A=60°,则BC边的长为(　　).
A.5 B.6
C.7 D.8
5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=2,=3,B=,则△ABC的面积为(　　).
A. B.
C. D.
6.在△ABC中,若b=2,A=120°,其面积S=,则△ABC外接圆的半径为(　　).
A. B.2
C.2 D.4
7.已知圆内接四边形ABCD各边的长度分别为AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,则AC的长为(　　).
A.6 B.7
C.8 D.9
8.在△ABC中,AB=2,AC=4,()·=8,则△ABC的面积等于　　　　　.
9.如图,在平面四边形ABCD中,AD⊥CD,∠BAD=,2AB=BD=4.
(1)求sin∠ADB;
(2)若BC=,求CD.
10.如图,在四边形ABCD中,∠ADC=,AD=3,sin C=,连接BD,3BD=4BC.
(1)求∠BDC的值;
(2)若BD=,∠E=,求△ABE面积的最大值.
答案：
1.B　设等腰三角形的底边长为a,顶角为θ,则腰长为2a,
由余弦定理得,cos θ=.
2.ACD　在△ABC中,因为sin A=sin C,所以A=C,所以角A是锐角,
又有S△ABC=bcsin A=bc,所以sin A=,得A=60°,所以三角形是等边三角形.
3.C　S△ABC=bcsin A=bc=,故bc=4,①
又a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2+bc=21,②
解①②组成的方程组,可得b=1或b=4,选C.
4.C　由题设a+b+c=20,bcsin 60°=10,得bc=40.
a2=b2+c2-2bccos 60°=(b+c)2-3bc=(20-a)2-120,解得a=7,即BC边的长为7.
5.D　由=3,得a2+c2=3ac.因为b=2,B=,b2=a2+c2-2accos B,得4=3ac+ac,
所以ac=1,故△ABC的面积S=acsin B=.
6.B　因为S=bcsin A,所以×2csin 120°,
解得c=2,所以a==2.
设△ABC外接圆的半径为R,则2R==4,R=2.
7.B　在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=89-80cos B,
在△ACD中,由余弦定理得AC2=CD2+AD2-2AD·CDcos D=34-30cos D,
∴89-80cos B=34-30cos D.
∵B+D=180°,∴cos B=-cos D,∴cos D=-,
∴AC2=34-30×=49,∴AC=7.
8.2　因为()·=8,所以=8 22+2×4×cos A=8 cos A=,
故A=.所以S△ABC=·AB·AC·sin A=×2×4×=2.
9.解 (1)△ABD中,,即,解得sin∠ADB=.
(2)因为AD⊥CD,
所以sin∠ADB==cos∠CDB.
△BCD中,cos∠CDB=,即,
故CD2-2CD-6=0,化简得(CD-3)(CD+)=0,解得CD=3.
10.解 (1)在△BCD中,由正弦定理得,∴sin∠BDC=.
∵3BD=4BC,∴BD>BC,
∴∠BDC为锐角,∴∠BDC=.
(2)在△ABD中,∵AD=3,BD=,∠ADB=,
∴AB==2.
在△ABE中,由余弦定理得AB2=AE2+BE2-2AE·BE·cos ,∴12=AE2+BE2-AE·BE≥2AE·BE-AE·BE=AE·BE,当且仅当AE=BE时等号成立,∴AE·BE≤12,
∴S△ABE=·AE·BE·sin ×12×=3,即△ABE面积的最大值为3.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)