2025北师版高中数学必修第二册练习题--第2章　§6　6.1　第4课时　正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用（含解析）

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2025北师版高中数学必修第二册
第4课时　正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用
课后训练巩固提升
A组
1.轮船A和轮船B在中午12时离开海港C,两艘轮船航行方向的夹角为120°,轮船A的航行速度是25 n mile/h,轮船B的航行速度是15 n mile/h,下午2时两船之间的距离是(　　).
A.35 n mile B.35 n mile
C.35 n mile D.70 n mile
2.如图,测量河对岸的塔的高度AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D,测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30 m,并在C处测得塔顶A的仰角为60°,则塔AB的高度为(　　).
A.15 m B.15 m
C.15(+1)m D.15 m
3.已知某观赏渔场有三个观赏亭,观赏亭A位于观赏亭C的正北方向且二者之间的水平距离为300 m,观赏亭B位于观赏亭C的东偏南30°方向且二者之间的水平距离为200 m,则观赏亭A与观赏亭B之间的水平距离为(　　).
A.100 m B.100m
C.400 m D.300 m
4.一艘船上午9:30在A处,测得灯塔S在它的北偏东30°方向,且与它相距8 n mile处,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向,此船的航速是(　　).
A.8()n mile/h
B.8()n mile/h
C.16()n mile/h
D.16()n mile/h
5.某观测站C与两灯塔A,B的距离分别为300 m和500 m,测得灯塔A在观测站C北偏东30°方向,灯塔B在观测站C南偏东30°方向,则两灯塔A,B之间的距离为　　　　　.
6.一角槽的示意图如图所示,已知AB⊥AD,AB⊥BE,并测量得AC=3 mm,BC=2 mm,AB= mm,则∠ACB=　　　　　.
7.一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫,然后向右转105°,爬行10 cm捕捉到另一只小虫,这时它向右转135°爬行回它的出发点,则x=　　　　　.
8.如图,一人在C地看到建筑物A在正北方向,另一建筑物B在北偏西45°方向,此人向北偏西75°方向前进 km到达D处,看到A在他的北偏东45°方向,B在北偏东75°方向,试求这两座建筑物之间的距离.
B组
1.如图,一艘船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这艘船航行的速度为(　　).
A. n mile/h B.34 n mile/h
C. n mile/h D.34 n mile/h
2.如图,某阵地位于点A,两个观察所分别位于C,D两点.已知△ACD为等边三角形,且DC= km,当目标出现在点B时,测得∠CDB=45°,∠BCD=75°,则该阵地与目标的距离约是(　　).
A.1.1 km B.2.2 km
C.2.9 km D.3.5 km
3.甲船在岛A的正南方向的B处,以4 km/h的速度向正北方向航行,AB=10 km,同时乙船自岛A出发以6 km/h的速度向北偏东60°的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间为(　　).
A. h B. h
C. h D. h
4.如图,为了测量某湿地A,B两点间的距离,观察者找到在同一直线上的三点C,D,E.从点D测得∠ADC=67.5°,从点C测得∠ACD=45°,∠BCE=75°,从点E测得∠E=60°.现测得DC=2 km,CE= km,则A,B两点间的距离为(　　).
A. km B.2 km
C.3 km D.2 km
5.为了测量正在海面上匀速行驶的某航船的速度,在海岸上选取距离为1 km的两个观察点C,D,在某天10:00观察到该航船在A处,此时测得∠ADC=30°,3 min后该船行驶至B处,此时测得∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,则船速为　　　　　km/min.
6.如图,一艘海轮从A出发,沿北偏东75°的方向航行20()n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东15°的方向航行40n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,那么此船应沿怎样的方向航行,需要航行的距离是多少
答案：
A组
1.D　由题可知∠C=120°,AC=50,BC=30,
由余弦定理得AB2=302+502-2×50×30×=4 900,
∴AB=70.
2.D　在△BCD中,由正弦定理得BC==15(m).
在Rt△ABC中,AB=BCtan 60°=15(m).
故选D.
3.B　如图,依题意可得,AC=300 m,BC=200 m,∠ACB=120°,设AB=x m,
由余弦定理可得x2=2002+3002-2×200×300×cos 120°=190 000,
解得x=100,
所以AB=100 m.
4.D　由题意得,在△SAB中,∠BAS=30°,∠SBA=180°-75°=105°,∠BSA=45°.
由正弦定理得,即,得AB=8(),
因此此船的航速为=16()(n mile/h).
5.700 m　如图所示,在△ABC中,AC=300 m,BC=500 m,∠ACB=120°.
∴由余弦定理得AB
=
=
=700(m).
6.　在△ABC中,由余弦定理得cos∠ACB==-.
因为∠ACB∈(0,π),所以∠ACB=.
7.　如图所示,设蜘蛛原来在点O,先爬行到点A,再爬行到点B,易知在△AOB中,AB=10 cm,∠OAB=75°,∠ABO=45°,则∠AOB=60°.
由正弦定理知x=.
8.解 依题意得,CD= km,∠ADB=∠BCD=30°=∠BDC,∠DBC=120°,∠ADC=60°,∠DAC=45°.
在△BDC中,由正弦定理得BC=(km).
在△ADC中,由正弦定理得AC==3(km).
在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=(3)2+()2-2×3cos 45°=25.
所以AB=5 km,即这两座建筑物之间的距离为5 km.
B组
1.A　在△PMN中,PM=68,∠PNM=45°,
有 MN=34.
v=(n mile/h),故选A.
2.C　在△BCD中,∠CBD=180°-∠BCD-∠CDB=60°.
由正弦定理,得BD=.
在△ABD中,∠ADB=45°+60°=105°.
由余弦定理,得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos 105°=3++2×=5+2.
则AB=≈2.9(km).
故该阵地与目标的距离约是2.9 km.
3.A　两船轨迹及距离最近时两船连线构成一个以A岛为顶点,角度是120°的三角形,设两船距离最近时航行时间为t h,距离为s km,此时甲船到A岛的距离为(10-4t)km,乙船距离A岛6t km,且有0由余弦定理,得cos 120°==-,化简得,s2=28t2-20t+100,其对应的抛物线开口向上,在对称轴处有最小值,即当t=-时,s2取最小值.
4.C　在△ACD中,∠ADC=67.5°,∠ACD=45° ∠DAC=67.5° AC=DC=2.
在△BCE中,∠BCE=75°,∠E=60° ∠CBE=45°,
利用正弦定理得, BC=.
在△ABC中,∠ACB=60°,利用余弦定理得,AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB AB=3.
5.　在△BCD中,∠BCD=45°,∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°,
∴∠CBD=45°,∴BD=CD=1,BC=.
在△ACD中,∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°,∴∠CAD=45°.
由正弦定理得AC=.
在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB=+2-2×,
∴AB=,故船速为 km/min.
6.解 在△ABC中,AB=20(),
BC=40,∠ABC=180°-75°+15°=120°.
由余弦定理可得
AC=
=
=40.
由正弦定理,得
sin∠BAC=.
∴∠BAC=45°,75°-∠BAC=30°.
答:此船应沿北偏东30°方向航行,需要航行40 n mile.
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