人教A版（2019）数学选择必修1 3.1.2 椭圆的简单几何性质（第2课时）课件（29页ppt）

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选择必修
第三章 圆锥曲线的方程
3.1 椭圆
3.1.2 椭圆的简单几何性质（第2课时）
教学目标
学习目标 数学素养
1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用． 1.数学抽象素养和逻辑推理素养.
2.能用代数方法解决一些与椭圆有关的简单几何问题、直线与椭圆位置关系的判定． 2.数学运算素养和逻辑推理素养.
3.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题． 3.数学运算素养和直观想象素养.
温故知新
椭圆标准方程
范围
对称性 顶点坐标
焦点坐标
半轴长 离心率 a、b、c关系 (a>b>0).
－a≤x≤a且－b≤y≤b
(a>b>0).
－b≤x≤b且－a≤y≤a
关于x、y轴成轴对称;关于原点(0,0)成中心对称
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0)
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
长半轴长为a,短半轴长为b(a>b).
e=, e∈(0,1).
a2=b2+c2(a>b>0).
知新探究
【例1】如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分.灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上.由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦F2.
已知BC⊥F1 F2，|F1B|=2.8cm，|F1 F2|=4.5cm.试建立适当
的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程（精确到0.1cm）.
知新探究
解：
建立如图所示的平面直角坐标系，
|F2B|=．
设椭圆的方程为(a>b>0)，
在Rt△BF1F2中，
由椭圆的性质知，|F1B|+| F2B |=2a，所以
a=(|F1B|+|F2B|)=(2.8+)≈4.1；
b=≈3.4.
所以，所求的椭圆方程为=1.
初试身手
1.(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地心最近的一点)距地面m km，远地点B(离地心最远的一点)距地面n km，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R km，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则(　　)
A．a－c＝m＋R B．a＋c＝n＋R
C．2a＝m＋n D．b＝
解：
∵地球的中心是椭圆的一个焦点，结合图形可得
∴a-c=m+R,a+c=m+R.
∴b＝，故D正确．
①
由①可得2a＝m＋n＋2R，故C不正确；
故A，B正确；
由①可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2．
∵a2－c2＝b2，
∴b2＝(m＋R)(n＋R)，
故选ABD.
ABD
初试身手
2.著名的天文学家、数学家开普勒发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆，且太阳中心处在椭圆的一个焦点上．记地球绕太阳运行的轨道为椭圆C，在地球绕太阳运行的过程中，若地球轨道与太阳中心的最远距离与最近距离之比为2，则椭圆C的离心率为 ．
解：
根据题意，设椭圆C的焦距为2c，实轴长为2a，
∴，即a=3c,
∴.
则地球轨道与太阳中心的最远距离为a＋c，最近距离为a－c，
.
知新探究
【例2】如图，动点M(x，y)与定点F(4，0)的距离和M到定直线l：x=的距离的比是常数，求动点M的轨迹.
解：
如图，设d是点M到直线l：x＝的距离，
根据题意，动点M的轨迹就是集合P＝.
由此得.
∴点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10，6的椭圆．
将上式两边平方，并化简，得
9x2＋25y2＝225，即＋＝1．
初试身手
3.点M(x，y)与定点F(c，0)的距离和它到定直线l:的距离比是常数(a>c>0)，求M点的轨迹.
如图，设d是点M到直线l:的距离，
将上式两边平方，并化简，(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)，
即.
∴点M的轨迹是长轴、短轴长分别为2a，2b(b2=a2-c2)的椭圆．
解：
根据题意，动点M的轨迹就是集合P＝.
由此得.
新知探究
拓展：
椭圆的第二定义
平面内，到定点F(c，0)的距离与它到定直线l:的距离之比是常数 (a>c>0)的动点的轨迹叫做椭圆.
其中F(c，0)是椭圆的一个焦点，l:称为相应于焦点F的准线，是椭圆的离心率．
由对称性，相应于焦点F′(-c，0)的椭圆的另一条准线是l′:.
离心率的几何意义是：椭圆上的点M到焦点F的距离和它到焦点F相对应的准线l的距离的比.
o
x
y
M
l
l′
F
F′
知新探究
【例3】如图，已知直线l：4x－5y＋m＝0和椭圆C：.m为何值时，直线l与椭圆C：⑴有两个公共点？⑵有且只有一个公共点？⑶没有公共点？
,
分析：直线l与椭圆C的公共点的个数与方程组
O
F1
F2
x
y
解的个数相对应．所以，我们可以通过判断上述方程组解的情况得到问题的解答．
知新探究
【例3】如图，已知直线l：4x－5y＋m＝0和椭圆C：.m为何值时，直线l与椭圆C：⑴有两个公共点？⑵有且只有一个公共点？⑶没有公共点？
解：
由方程组
消去y，得
方程①的根的判别式Δ＝64m2－4×25×(m2－225)＝36×(252－m2)．
⑶由Δ＜0，得m＜－25，或m＞25．此时方程①没有实数根，直线l与椭圆C没有公共点．
25x2＋8mx＋m2－225＝0．　①
⑵由Δ＝0，得m1＝25，m2＝－25．此时方程①有两个相等的实数根，直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
⑴由Δ＞0，得－25＜m＜25．此时方程①有两个不相等的实数根，直线l与椭圆C有两个不同的公共点．
O
F1
F2
x
y
,
知新探究
直线与椭圆的位置关系及判断
通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，对解的个数进行讨论．
通常消去方程组中的一个变量，得到关于另一变量的一元二次方程．
⑴Δ＞0 直线与椭圆相交 有两个不同的公共点；
⑵Δ＝0 直线与椭圆相切 有且只有一个公共点；
⑶Δ＜0 直线与椭圆相离 无公共点．
初试身手
方法1：由，消去y，得
(m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.
4.若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＝1总有公共点，求m的取值范围．
∵直线与椭圆总有公共点，
又∵m＞0，
解：
而1－5k2的最大值为1，
∴Δ＝100k2－20(m＋5k2)(1－m)≥0.
∴m≥1－5k2.
则m的取值范围是1≤m＜5.
∴m≥1.
∴m＜5，
又椭圆焦点在x轴上，
初试身手
方法2：∵直线y＝kx＋1恒过定点(0，1)，
∴若直线与椭圆总有公共点，则点(0，1)不在椭圆外部．
4.若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＝1总有公共点，求m的取值范围．
∴≤1，
解：
又椭圆焦点在x轴上，
又∵m＞0，
则m的取值范围是1≤m＜5.
∴m≥1.
∴m＜5，
知新探究
【例4】⑴已知斜率为1的直线l过椭圆＝1的右焦点交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．
解：
设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，且椭圆方程中a2＝4，b2＝1，c2＝3，
∴直线l的方程为y＝x－.
将上式代入椭圆的方程，
∴|AB|=.
则Δ＝(－8)2－4×5×8＝32＞0，x1＋x2＝,x1x2＝.
整理，可得 5x2－8x＋8＝0，
∴右焦点的坐标为(，0)．
.
知新探究
【例4】⑵椭圆(a>b>0)的离心率为，且椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交于P，Q两点,|PQ|＝，则椭圆的方程为 ．
解：
由，得，即.
∴椭圆的方程为x2＋4y2＝a2，与方程x＋2y＋8＝0联立并消去y，得
2x2＋16x＋64－a2＝0，
.
则|PQ|2=.
设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－8，x1x2＝.
由Δ=(16)2-4×2×(64-a2)>0,得a2>32．
解得a2=36.
∴椭圆的方程为x2＋4y2＝36，即.
.
知新探究
通常将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x(或y)的一元二次方程，然后利用根与系数的关系求弦长，从而绕过求直线与椭圆的交点坐标．
弦长问题
若直线y＝kx＋b与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则
|AB|＝，
或|AB|＝.
初试身手
设直线与椭圆交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2),
则x1，x2是方程5x2＋2mx＋m2－1＝0的两根．
5.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
由Δ＞0，得4m2－20(m2－1)＞0，
由韦达定理，得x1＋x2＝－，x1·x2＝.
解：
.
∴当弦长|AB|取最大值时，直线方程为y＝x.
∴|AB|＝
解得m2＜.
当且仅当m＝0时取等号，
知新探究
【例5】过椭圆内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M平分，求此弦所在直线的方程.
解：
方法1：依题意，该直线l的斜率存在．设所求直线方程为y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得
(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.
又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
解之得k＝.
∴,
又M为AB的中点，
则x1，x2是方程的两个根，于是x1＋x2＝.
∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
知新探究
【例5】过椭圆内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M平分，求此弦所在直线的方程.
解：
方法2：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(2,1)为AB的中点，
∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A，B两点在椭圆上，
则，
∴,即k＝.
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
两式相减,得 ,
∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
知新探究
中点弦问题
1.方程组法
联立直线方程与椭圆方程，
消去其中一个未知量后得到一个一元二次方程，
利用根与系数的关系(韦达定理)及中点坐标公式求解．
y
A
B
O
x
2.点差法
设直线与椭圆＝1(m>0，n>0，m≠n)的交点(弦的端点)，坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点(x0，y0)，
将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差，得到
kAB＝．
初试身手
方法1：设通过点M(1，1)的直线AB的方程为y＝k(x－1)＋1，代入椭圆方程，整理得
设A，B的横坐标分别为x1，x2，则
6.已知一直线与椭圆4x2＋9y2＝36相交于A，B两点，弦AB的中点坐标为M(1，1)，求直线AB的方程．
(9k2＋4)x2＋18k(1－k)x＋9(1－k)2－36＝0.
＝1，
解：
故直线AB的方程为y＝(x－1)＋1，即4x＋9y－13＝0.
解得k＝.
则Δ＝32k2＋8k＋12＝32＞0.
初试身手
方法2：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
4(x2－x1)(x2＋x1)＋9(y2－y1)(y2＋y1)＝0.
6.已知一直线与椭圆4x2＋9y2＝36相交于A，B两点，弦AB的中点坐标为M(1，1)，求直线AB的方程．
.
∵M为AB中点，
解：
故直线AB的方程为y＝(x－1)＋1，即4x＋9y－13＝0.
∴4(x2－x1)＋9(y2－y1)＝0.
两式相减,得
∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝2.
∴，即kAB＝－.
课堂小结
1.实际生活中的椭圆问题．
相交、相切、相离
2.椭圆的第二定义及准线方程
3.直线与椭圆的位置关系：
4.椭圆的弦长公式
5.椭圆的中点弦问题
作业布置
作业：
P115 习题3.1 第6，7,8,13题.
补充：（选做）
1.已知椭圆x2＋2y2＝12，A是x轴正半轴的一定点，过点A作倾斜角为的直线l，若l被椭圆截得的弦长为，求点A的坐标．
2.已知椭圆+y2=1，求过点P()且被 P 平分的弦所在的直线方程．
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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