江苏省连云港高级中学2024-2025学年高二（上）第一次段考数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年江苏省连云港高级中学高二（上）第一次段考
数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线的斜率为，且直线，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知直线和之间的距离是( )
A. B. C. D.
3.圆与圆的位置关系是( )
A. 内含 B. 内切 C. 相交 D. 外切
4.已知圆与轴相切，则( )
A. B. 或 C. 或 D.
5.已知点关于直线对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于、两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知点，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.已知直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下四个命题叙述正确的是( )
A. 直线在轴上的截距是
B. 三条直线、和交于一点，则的值是
C. 设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是
D. 直线：，：，且，则或
10.已知是圆：上任一点，，则下列说法正确的是( )
A. 圆心的坐标为 B. 点在圆内
C. 的最大值为 D. 过的最短弦长是
11.已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上的任意一点，则( )
A. 的离心率为 B.
C. 的最大值为 D. 使为直角的点有个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知三点，，在同一直线上，则实数的值是______．
13.已知椭圆的左焦点为，右顶点为，上顶点为，若为等腰三角形，则的离心率为 ．
14.如果实数，满足等式，那么的最大值是______；的最大值是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知点和直线：．
若直线经过点，且，求直线的方程；
若直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．
16.本小题分
椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点，求椭圆的标准方程；
已知椭圆的焦点分别是，，点在椭圆上，且，求点到轴的距离．
17.本小题分
已知点，的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程；
如图，已知圆：和定点，为圆外一点，直线与圆相切于点，若，求点的轨迹方程．
18.本小题分
求圆心在直线：上，与直线：相切于点的圆的方程．
若过点作圆：的切线，求切线的斜率．
19.本小题分
如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线，均不与轴垂直．
求椭圆的方程；
若，求的方程；
记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值．
参考答案
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15.解：由题意设直线的方程为，
将带你代入直线的方程为，
解得，
则直线的方程为：；
若直线经过原点，设直线方程为，
代入可得，
若直线不经过原点，设直线方程为，
代入可得，故直线方程为．
综上，直线的方程为和．
16.解：椭圆：的焦点坐标为，
椭圆的焦点坐标也为，即得焦距为，
椭圆过点，，
，椭圆的标准方程为．
由椭圆方程得，，，
设，则，；
由得：；
又点在椭圆上，可得；
，消去得，，即；
故点到轴的距离是．
17.解：设，则，，
直线，相交于点，且它们的斜率之积是，
，
化简整理得，，
所以点的轨迹方程为：；
设，依题意，则，
即，即，
整理得．
18.解：依题意，，则直线的斜率为，方程为，即，
由，解得，则圆的圆心，，
所以所求圆的方程为：．
圆：的圆心，半径，
当切线的斜率存在时，设：，即，
则，解得；
当切线的斜率不存在时，：，点到切线的距离为，不等于半径，不满足题意；
所以切线的斜率为．
19.解：由题意得，解得，
故椭圆的方程为．
设直线的方程为，，，
联立，消去得，
由，得，
则．
，
解得或，
当时，直线的方程为；
当时，直线经过点，不符合题意，舍去．
所以当时，的方程为．
证明：直线，均不与轴垂直，所以，，则且，
所以
，
所以为定值．
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