广东省茂名市化州市部分学校2024-2025学年高二（上）月考数学试卷（一）（含答案）

2024-2025学年广东省茂名市化州市部分学校高二（上）月考
数学试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足其中是虚数单位，则( )
A. 的实部是 B. 的虚部是 C. D.
3.已知空间向量，空间向量满足且，则( )
A. B. C. D.
4.在件产品中，有件一等品和件二等品，从中任取件，那么以为概率的事件是( )
A. 都不是一等品 B. 恰有一件一等品 C. 至少有一件一等品 D. 至多一件一等品
5.在空间直角坐标系中，，，，则平面的一个法向量为( )
A. B. C. D.
6.，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.如图，在下列各正方体中，为正方体的一条体对角线，、分别为所在棱的中点，则满足的是( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，在定义域内存在唯一，使得，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，，则( )
A. B. 在上的投影向量为
C. D. 向量共面
10.给定组数，，，，，，，，，，则( )
A. 中位数为 B. 标准差为 C. 众数为和 D. 第百分位数为
11.函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 是图象的一个对称中心
C. 在区间上单调递增
D. 把图象上所有点向右平移个单位长度后得到函数的图象
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则的最小值为______，当取得最小值时的值为______．
13.已知函数，则不等式的解集为______．
14.如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是 填序号
；
；
向量与的夹角是；
与所成角的余弦值为．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，若．
求角的大小；
若，，求的面积．
16.本小题分
已知空间三点，，，在直线上有一点满足．
求的长；
求点的坐标．
17.本小题分
已知函数，．
当时，求函数的值域；
若，，求的值．
18.本小题分
为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召若干名宣传志愿者，成立环境保护宣传小组，现把该小组的成员按年龄分成，，，，这组，得到的频率分布直方图如图所示，已知年龄在内的人数为．
若用分层抽样的方法从年龄在，，内的志愿者中抽取名参加某社区的宣传活动，再从这名志愿者中随机抽取名志愿者做环境保护知识宣讲，求这名环境保护知识宣讲志愿者中至少有名年龄在内的概率；
在的条件下，记抽取的名志愿者分别为甲、乙，该社区为了感谢甲、乙作为环境保护知识宣讲的志愿者，给甲、乙各随机派发价值元，元，元的纪念品一件，求甲的纪念品不比乙的纪念品价值高的概率．
19.本小题分
如图所示为直四棱柱，，，分别是线段，的中点．
证明：平面；
线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由．
参考答案
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13.或或
14.
15.解：由和正弦定理可得：
，
因，故得，即，
因，故；
由余弦定理，
可得，
又，则，
故的面积为．
16.解：，，，的长．
设，，，，
则，
由，即，
，，共线，故存在实数使得，即
，解得，
点的坐标为．
17.解：时，，可得，
，即函数的值域为；
，
，
，
，
．
18.解：因为志愿者年龄在，，内的频率分别为，，，
所以用分层抽样的方法抽取的名志愿者年龄在，，内的人数分别为，，．
记这名志愿者分别为，，，，，，
则从中抽取名志愿者的情况有：
，，，，，，，，，，，，，，，共种可能；
而至少有名志愿者的年龄在内的情况有：
，，，，，，，，，共种可能．
所以至少有名志愿者的年龄在内的概率为．
甲、乙获得纪念品价值的情况有：
，，，，，，，，，共种可能；
而甲的纪念品不比乙的纪念品价值高的情况有：
，，，，，，共种可能．
故甲的纪念品不比乙的纪念品价值高的概率为．
19.证明：因为直四棱柱中，，
则为正三角形，
又是线段的中点，则，
是线段的中点，则，
而，所以，
又，、平面，
所以平面；
解：由知为正三角形，则，
在中，，，
则，所以，
又在直四棱柱中，，，
以为原点，建立如图空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，所以，
假设在线段上存在点，使得平面，
令，则，
所以，
由平面，得，
所以，
解得，
则，
所以，
所以．
即的长为．
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