山西省晋中市平遥县部分高中学校2024-2025学年高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年山西省晋中市平遥县部分高中学校高二（上）月考
数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，已知点，，则线段的中点坐标是( )
A. B. C. D.
2.已知，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
3.若是平面的一个法向量，且，与平面都平行，则向量( )
A. B. C. D.
4.已知点，，则经过线段的中点，且与直线平行的直线的方程为( )
A. B. C. D.
5.若直线：的倾斜角为，则“”是“不是钝角”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知点，，，若是直线：和：的公共点，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
7.如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，是的中点，，则折后平面与平面的夹角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
8.正方体的棱长为，是空间内的动点，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知空间中三点，，，则下列说法正确的有( )
A. B.
C. D. 的上投影向量的长度为
10.直线过点，倾斜角为，且，则直线经过点( )
A. B. C. D.
11.直线：与：在同一平面直角坐标系内的位置可能是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，为底面中心，为中点，动点在圆锥底面内包括圆周，若，则与底面所成角的正弦值的取值范围是 ．
13.如图，已知二面角的平面角大小为，四边形，均是边长为的正方形，则 ______．
14.某公园的示意图为如图所示的六边形，其中，，，，且，米，米．若计划在该公园内建一个有一条边在上的矩形娱乐健身区域，则该娱乐健身区域面积单位：平方米的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，是否存在点，使四边形为等腰梯形，且？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
16.本小题分
如图，直三棱柱的体积为，的面积为．
求到平面的距离；
设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
17.本小题分
已知直线：．
证明无论为何值，直线经过定点，并求出点的坐标；
若斜率大于，且经过中点的直线与轴，轴分别交于，两点，为坐标原点，求面积的最小值．
18.本小题分
已知菱形中，，，边所在直线过点求：
边所在直线的方程；
对角线所在直线的方程．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，为的中点．

证明：．
若二面角的平面角为，是线段上的一个动点，求直线与平面所成角的最大值．
参考答案
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15.解：已知，，，得，，则，，三点不共线．
假设存在点满足条件，
则，．
因为四边形是等腰梯形，且，所以．
即；
所以，
解得：或；
当，，时，即：，且，，三点不共线，
故此时四边形为平行四边形，不合题意；
当，，时，点与点重合，不合题意．
故假设不成立，即不存在满足条件的点．
16.解：由直三棱柱的体积为，可得，
设到平面的距离为，由，
，，解得．
由直三棱柱知平面，
所以平面平面，又平面平面，又平面平面，
所以平面，，，
以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，，又，解得，
则，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
，令，则，，
平面的一个法向量为，
，，
二面角的正弦值为．
17.证明：将直线的方程转化为，
令，解得，
故无论为何值，直线经过定点，且点的坐标为．
解：由可设该直线的方程为，，
令，得；
令，得，
因为是直角三角形，
所以的面积，
当且仅当，即时等号成立，
故面积的最小值为．
18.解：因为边所在直线过点，
所以直线的方程为：，
即，在菱形中可知，
所以设直线的方程为，将点代入，
所以，
所以直线的方程为：；
由题意可得线段的中点，即，
，
因为菱形的对角线互相垂直平分，所以直线的斜率为，
所以所在的直线方程为，即．
19.解：如图，取的中点，连接，．
底面是正方形，，，．
，平面，平面．
又平面，．
由可知，二面角的平面角为，且为，
过点作垂直于直线，垂足为，
平面，平面，，
平面，平面，
以为原点，，所在的直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

易得，，，，
则，，，，，
，，，，
设平面的法向量为，则
得取，则．
设，，
则，
设直线与平面所成的角为，
则，
令，则，．
当时，，；
当时，，
当，即，时，取得最大值，且最大值为，此时．
所以直线与平面所成角的最大值为．

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