山东省淄博市高青一中2024-2025学年高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省淄博市高青一中高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，则( )
A. B. C. D.
3.如图，在中，点在线段上，，如果，那么( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.设的内角，，所对的边分别为，，，若，则角( )
A. B. C. D.
5.如图，若是水平放置的的直观图，则的面积是( )
A. B. C. D.
6.如图，是的直径，是圆周上不同于，的任意一点，平面，则四面体的四个面中，直角三角形的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7.正三棱锥中，直线与所成的角的大小为( )
A. B. C. D.
8.甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为，，则恰有一人击中敌机的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，为矩形所在平面外一点，矩形对角线的交点为，为的中点，则下列结论成立的是( )
A. 平面 B. 平面
C. 平面 D. 平面
10.在中，内角，，的对边分别为，，，下列说法中正确的是( )
A. 若，则
B.
C. 若，则是锐角三角形
D. 若，则是钝角三角形
11.青少年是国家的未来和民族的希望，党中央历来高度重视青少年体质与健康管理工作，亲切关怀青少年和儿童的健康成长，不断出台相关政策法规，引导广大青少年积极参与体育健身近年来，随着政策措施牵引带动，学生体质与健康水平不断迈上新台阶某学校共有名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了名男生的体重情况根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 样本的众数为
B. 样本的分位数为
C. 样本的平均值为
D. 该校男生中低于的学生大约为人
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是 ．
13.已知，是不同的直线，，是不重合的平面，给出下面三个命题：
若，，则．
若，，，，则．
若，是两条异面直线，若，，，则．
上面命题中，正确的序号为______把正确的序号都填上
14.若一个圆柱的底面半径为，侧面积为，球是该圆柱的外接球，则球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，满足，．
Ⅰ若，求向量的坐标
Ⅱ若，求向量与向量夹角的余弦值．
16.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知，，．
求角的大小；
求的面积．
17.本小题分
如图，四边形是矩形，，，平面，，点为线段的中点．
求证：平面；
求和平面所成角的正弦值．
18.本小题分
某校在“全民健身日”举行了投篮活动，每名参赛者投篮次投中一次得分，没投中得分活动结束后统计名参赛者的平均得分为分，方差为后经核实有两名参赛者的分数统计错误，把一个分错记为分，一个分错记为分，求实际得分的方差．
19.本小题分
某校高二期中考试后，教务处计划对全年级数学成绩进行统计分析，从男、女生中各随机抽取名学生，分别制成了男生和女生数学成绩的频率分布直方图，如图所示．
若所得分数大于等于分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？
在中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取人，从这人中任意任取人，求至少有名男生的概率．
参考答案
1.
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14.
15.解：Ⅰ，可设，
，
或
Ⅱ
即，
，，
，．
16.解：
因为，
所以，
所以，
即，
显然，所以，
又，所以；
由余弦定理，
即，
又，
所以，
解得，
所以．

17.证明：连接交于，连接，
因为，为、的中点，
所以为的中位线，
所以，
而平面，平面，
故DE平面；
解：因为平面，平面，
所以，
又由，
而，，平面，
故CE平面，
故即为和平面所成的角，
又，，
在直角三角形中，可得，
所以和平面所成角的正弦值为．
18.解：依题意平均数不发生变化，
设除这名记错分的另外名参赛者的分数分别为，，，，
因为，
所以，
则实际得分的方差为：
．
19.解：由题意可得，男生优秀人数为人，
女生优秀人数为人．
因为样本容量与总体中的个体数的比是，
所以样本中包含男生人数为人，女生人数为人，
设两名男生为，，三名女生为，，，
则从人中任意选取人构成的所有基本事件为：
，，，，，，，，，共个，
每个样本被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
记事件：“选取的人中至少有一名男生”，则事件包含的基本事件有：
，，，，，，共个，
所以，即选取的人中至少有一名男生的概率为．
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