山东省日照市五莲一中2024-2025学年高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年山东省日照市五莲一中高二（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.已知为直线的方向向量，、分别为平面、的法向量、不重合，那么下列说法中：
；
；
；
．
其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3.现有一段底面周长为厘米和高为厘米的圆柱形水管，是圆柱的母线，两只蜗牛分别在水管内壁爬行，一只从点沿上底部圆弧顺时针方向爬行厘米后再向下爬行厘米到达点，另一只从沿下底部圆弧逆时针方向爬行厘米后再向上爬行厘米爬行到达点，则此时线段长单位：厘米为( )
A. B. C. D.
4.若，则( )
A. B. C. D.
5.正方体中，点是上靠近点的三等分点，平面平面，则直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.在棱长为的正方体中，是的中点，则点到平面的距离是( )
A. B. C. D.
7.如图所示，正方体的棱长为，点，，分别为，，的中点，则下列说法正确的是( )
A. 直线与直线垂直
B. 直线与平面平行
C. 三棱锥的体积为
D. 直线与平面所成的角为
8.如图，在棱长为的正方体中，点在线段不含端点上运动，则下列结论正确的是( )
的外接球表面积为；
异面直线与所成角的取值范围是；
直线平面；
三棱锥的体积随着点的运动而变化．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于复数，下列说法正确的是( )
A.
B. 若，则的最小值为
C.
D. 若是关于的方程：的根，则
10.如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，，，，分别为棱，的中点，则( )
A. 平面
B.
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 平面与平面的夹角的正切值为
11.在棱长为的正方体中，，，分别为棱，，的中点，为正方形的中心，动点平面，则( )
A. 正方体被平面截得的截面面积为
B. 若，则点的轨迹长度为
C. 若，则的最小值为
D. 将正方体的上底面绕点旋转，对应连接上、下底面各顶点，得到一个侧面均为三角形的十面体，则该十面体的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若是实系数一元二次方程的一个根，则 ______．
13.已知向量，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是______．
14.已知梯形如图所示，其中，，为线段的中点，四边形为正方形，现沿进行折叠，使得平面平面，得到如图所示的几何体已知当点满足时，平面平面，则的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知空间中三点，，，设．
已知，求的值；
若，且，求的坐标．
16.本小题分
在空间直角坐标系中，已知向量，点若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为．
已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值；
已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，点到平面的距离．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，底面，，，，，点，分别为与的中点．
证明：平面；求二面角的平面角的正切值．
18.本小题分
如图，是圆台的一条母线，是圆的内接三角形，为圆的直径，．
证明：；
若圆台的高为，体积为，求直线与平面夹角的正弦值．
19.本小题分
如图所示，矩形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图的四棱锥，为中点，
若平面平面，求直线与平面所成角的大小；
设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．
参考答案
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15.解：因为，，，，
所以，，
又，所以，得到．
因为，又，所以，解得或，
所以的坐标为或．
16.解：依题意，直线的一个方向向量坐标为，平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
因为，
所以，
所以直线与平面所成角的余弦值为．
依题意，平面的法向量为，且平面过点，由，
得，
所以点到平面的距离为．
17.
解：证明：如图：
在三棱柱中，因为底面，
所以三棱柱是直三棱柱，因此四边形是矩形．
又因为点是的中点，所以连接，则是的中点．
连接，因为是的中点，所以．
因为平面，平面，所以平面．
解：由知：三棱柱是直三棱柱，
所以，，
因此是二面角的平面角．
又因为，所以，
因此平面平面．
由知：四边形是矩形，
如下图：取的中点，连接．
因为点是的中点，所以．
因为平面平面交于，平面，
所以平面，
而平面，因此．
过在平面内，作于，连接．
因为，平面，所以平面，
而平面，因此，
因此是二面角的平面角．
因为，所以．
又因为，，是的中点，
所以在矩形内，利用面积等量得：
，
而，因此．
在中，，
因此二面角的平面角的正切值为．
18.解：证明：因为是圆台的一条母线，所以与的延长线必相交，
所以，，，四点共面，
连接，，，则平面，
因为平面，所以，
因为是圆的内接三角形，为圆的直径，所以，
因为为圆的直径，，
所以，所以，
因为，，所以平面，
因为平面，所以；
因为圆台的高为，体积为，设圆的半径为，
则，解得，
因为圆面圆面，圆面平面，圆面平面，所以，
由知，，，两两互相垂直，
则以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，令，得，，所以，
设直线与平面的夹角为，
则，
所以直线与平面夹角的正弦值为．
19.解：取中点，连接，由，得，而平面平面，
平面平面平面，则平面，
过作，则平面，又平面，于是，
在矩形中，，，则，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则，
，
设平面的法向量为，
则，令，得，
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的大小为．
连接，由，得，而，
则为的平面角，即，
过点作平面，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则，，，
显然平面，平面，则平面平面，
在平面内过作于点，则平面，
设，而，
则，，，
即，，
所以，
于是，，
设平面的法向量为，
则
令，得，
设平面的法向量为，
因为，，
则
令，得，
设平面和平面 夹角为，
则
令，，则
即，则当时，有最小值，
所以平面和平面夹角余弦值的最小值为．

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