吉林省长春市吉大附中实验学校2024-2025学年高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年吉林省长春市吉大附中实验学校高二（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，已知点，点，则( )
A. 点和点关于轴对称 B. 点和点关于轴对称
C. 点和点关于轴对称 D. 点和点关于原点中心对称
2.向量，，若，则( )
A. ， B. ，
C. ， D.
3.直三棱柱中，若，，，则( )
A. B. C. D.
4.下列可使，，构成空间的一个基底的条件是( )
A. ，，两两垂直 B.
C. D.
5.已知，则直线恒过定点( )
A. B. C. D.
6.已知：，：，则两圆的位置关系为( )
A. 相切 B. 外离 C. 相交 D. 内含
7.已知点为椭圆：上任意一点，直线过：的圆心且与交于，两点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知圆：和圆：交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是( )
A. 圆和圆关于直线对称
B. 圆和圆的公共弦长为
C. 的取值范围为
D. 若为直线上的动点，则的最小值为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则下列正确的是( )
A. B.
C. D. 在方向上的投影向量为
10.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图，把三片这样的达芬奇方砖拼成组合，把这个组合再转换成空间几何体若图中每个正方体的棱长为，则下列结论正确的是( )
A. B. 点到直线的距离是
C. D. 异面直线与所成角的正切值为
11.已知实数，满足方程，则下列说法正确的是( )
A. 的最大值为 B. 的最大值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.为空间任意一点，若，若四点共面，则 ______．
13.已知点和点，是动点，且直线与的斜率之积等于，则动点的轨迹方程为______．
14.已知点为圆上位于第一象限内的点，过点作圆的两条切线，切点分别为，直线分别交轴于两点，则 ， ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
已知椭圆的离心率为，短轴长为；
椭圆与有相同的焦点，且经过点，求椭圆的标准方程．
16.本小题分
已知圆心为的圆经过点，，且圆心在直线上．
求圆的方程；
已知直线过点且直线截圆所得的弦长为，求直线的一般式方程．
17.本小题分
如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，平面，为上一点，且，连接、、．
证明：平面；
求平面与平面的夹角的余弦值．
18.本小题分
已知圆：与圆：内切．
求的值．
直线：与圆交于，两点，若，求的值；
过点作倾斜角互补的两条直线分别与圆相交，所得的弦为和，若，求实数的最大值．
19.本小题分
已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模，如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为上一点，．
求的长；
若为的中点，求二面角的余弦值；
若为上一点，且满足，求．
参考答案
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15.解：椭圆的离心率为，短轴长为，
则，，
，解得，，
故椭圆的标准方程为或；
椭圆与有相同的焦点，
则可设椭圆的方程为，
椭圆经过点，
则，解得或舍去，
故椭圆的标准方程为．
16.解：，的中点为，的垂直平分线方程为，即，
将联立可得，即圆的圆心坐标为，
圆的半径为，
所以圆的标准方程为；
设圆心到直线的距离为，由弦长公式得，故，
若直线的斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离为，符合题意．
若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即，
所以，解得，
则直线的方程为．
故直线的方程为或．
17.解：证明：
因为平面，平面，
所以．
又，且，
所以平面．
因为，所以平面．
如图，过点作，垂足为，则．
又，所以四边形是平行四边形，
又，所以四边形 是 矩形，
又四边形为等腰梯形，且，，
所以．
由知平面，所以．
又，所以．
在中，．
在中，．
由上述可知，，，两两垂直，以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系
则，，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，
由，得可取
设平面的法向量为，
由，得，可取
因此，．
依题意可知，平面与平面的夹角的余弦值为．

18.解：，
，即，，
圆与圆内切，
，即，解得或舍去，
的值为．
当两条直线中有一条与轴垂直时，，
故，
设，，
联立直线与圆的方程，，化简整理可得，，
，
由韦达定理可得，， ，
，
，
又 ，
联立可得，，解得．
直线和的斜率存在且不为，
设：，即，
：，
到的距离为，
，
同理，
则，
当时，当且仅当时，等号成立，
当时，当且仅当时，等号成立，
故实数的最大值为．
19.解：因为底面为矩形，底面，
所以，，
又底面，
所以，
又，、平面，
所以平面，
又平面，
所以，
所以为直线与所成的角，即，
设，则，，
在中，
又，
所以，解得负值已舍去，
所以；
在平面内过点作交的延长线于点，连接，
因为底面，底面，
所以，
又，、平面，
所以平面，
又平面，
所以，
所以为二面角的平面角，
因为为的中点，
所以，，
所以，
设二面角的平面角为，则，
所以，
即二面角的余弦值为；
依题意，，又，
所以，，
又，
所以，
又，、平面，
所以平面，
在平面内过点作，垂足为，
由平面，平面，
所以，
又，、平面，
所以平面，
在平面内过点作交于点，在上取点，使得，连接，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又，即，
所以．

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