山西省运城市高二（上）2024-2025学年测评数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年山西省运城市高二（上）测评数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
2.直线：的一个方向向量为( )
A. B. C. D.
3.已知空间向量，，若，则实数( )
A. B. C. D.
4.已知圆关于直线对称，则实数( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，，若，，共面，则实数( )
A. B. C. D.
6.圆：与圆：的公切线的条数为( )
A. B. C. D.
7.在四棱锥中，，，，则此四棱锥的高为( )
A. B. C. D.
8.已知，是圆：上两点，且，若直线上存在点使得，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
10.已知直线：，圆：，则下列说法正确的是( )
A. 直线过定点
B. 直线与圆恒相交
C. 直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为
D. 直线被圆截得的弦长为时，
11.已知点是棱长为的正方体表面上的一个动点，则( )
A. 存在点，使得
B. 若是中点，当在棱上运动时，存在点使得
C. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是
D. 若是的中点，当点在底面上运动时，存在点使得平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，若点在线段上，则的取值范围是______．
13.已知是圆：上任意一点，若的取值与、无关，则实数的取值范围是______．
14.空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，平行六面体中，，，，为上靠近点的三等分点，设，，．
用基底表示向量；
求．
16.本小题分
已知两直线：和：的交点为．
若直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程；
若圆过点且与相切于点，求圆的标准方程．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，且，，，点为线段的中点，点是线段上靠近点的三等分点．
求证：平面平面；
求平面和平面的夹角的余弦值．
18.本小题分
已知以点为圆心的圆与轴交于点，与轴交于点，为坐标原点与不重合
求证：的面积为定值；
设直线与圆交于点，，若，求实数的值；
在的条件下，设，分别是直线：和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标．
19.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，动点在直线上，且．
是否存在点，使得？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由；
当取何值时，直线与平面所成角的正弦值为；
求动点到直线的距离的取值范围．
参考答案
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15.解：平行六面体中，，，，为上靠近点的三等分点，设，，．
因为为上靠近点的三等分点，所以．
所以．
因为，又，
所以．
16.解：联立方程组解得
所以直线：和：的交点．
因为直线与直线平行，故可设直线：．
又直线过点，则，解得，
即直线的方程为．
设所求圆的标准方程为，
直线：的斜率为，故直线的斜率为，
由题意可得解得
故所求圆的标准方程为．
17.解：证明：因为点是线段上靠近点的三等分点，，所以．
在中，，，，由余弦定理，得，
所以，所以，即．
因为平面，平面，所以．
又，，平面，所以平面．
因为平面，所以平面平面．
过点作，易证平面，显然直线，，两两垂直，
故以为原点，直线，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，．
设平面的法向量为，
则，则，取，则，所以，
设平面的法向量为，
则，则，取，则，所以，
设平面和平面的夹角为，
则，
即平面和平面的夹角的余弦值为．
18.解：证明：由圆的方程，化简得，
其与轴，轴的交点分别为：，，
所以为定值；
如图所示，因为，所以．
又的斜率，所以，
解得负数舍去，所以实数的值为；
如图所示，由知：圆的方程为：，圆心，半径，．
设点关于直线的对称点为，
则中点为，
由被直线垂直平分可得，解得，即，
则，
又点到圆上点的最短距离为，
则的最小值为，
此时直线的方程为：，即．
的最小值时点为直线与直线的交点，
则，解得，即点．
19.解：如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
即，，
因为，所以，
所以不存在点，使得；
设平面的一个法向量为，
则有，取，得，
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以
，解得或，
所以当或时，直线与平面所成角的正弦值为；
由知，，．
设点到直线的距离为，
则
当且仅当时取等号，
所以动点到直线的距离的取值范围为．
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