福建省龙岩市连城一中2024-2025学年高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年福建省龙岩市连城一中高二（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列，则是它的( )
A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项
2.直线与圆的位置关系是( )
A. 相交且直线过圆心 B. 相交但直线不过圆心
C. 相切 D. 相离
3.在等比数列中，，是方程的两个根，则的值为( )
A. B. C. D.
4.若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为( )
A. B. C. D.
5.“”是“方程是圆的方程”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.张丘建算经卷上第题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第天开始，每天比前一天多织相同量的布，第天织了尺布，现在一月按天计算共织尺布，记该女子一月中的第天所织布的尺数为，则的值为( )
A. B. C. D.
7.光线从点射出，到轴上的点后，被轴反射到轴上的点，又被轴反射，这时反射线恰好过点，则所在直线的方程是( )
A. B. C. D.
8.斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”这一数列如下定义：设为斐波那契数列，，其通项公式为，设是的正整数解，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：和直线：，下列说法正确的是( )
A. 始终过定点 B. 若，则或
C. 若，则或 D. 当时，始终不过第三象限
10.已知正项等比数列满足，，若设其公比为，前项和为，则( )
A. B. 数列单调递减
C. D. 数列是公差为的等差数列
11.已知，，点为圆：上一动点，过点作圆的切线，切点分别为、，下列说法正确的是( )
A. 若圆：，则圆与圆有四条公切线
B. 若，满足，则
C. 直线的方程为
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若等比数列共有项，其公比为，其奇数项和比偶数项和少，则数列的所有项之和为______．
13.已知直线与：交于，两点，则的面积为______．
14.德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是正十七边形尺规作图之理论与方法在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知点，，；
求过点且与平行的直线方程；
求过点且在轴和轴上截距相等的直线方程．
16.本小题分
已知数列满足．
求的通项公式；
求数列的前项和．
17.本小题分
证明圆与圆内切，并求它们的公切线方程．
18.本小题分
已知的前项和是且，．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ设求数列的前项和．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，圆是以两点为直径的圆，且圆与圆关于直线对称．
求圆的标准方程；
设，，过点作直线，交圆于、两点，、不在轴上．
过点作与直线垂直的直线，交圆于两点，记四边形的面积为，求的最大值；
设直线，相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
参考答案
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15.解：直线的斜率：，故过点且与平行的直线方程斜率．
且，故直线方程为：，即；
过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程，
当截距为时，直线过原点，直线方程为：，即；
当截距不为时，由截距相等可设直线方程为：，
代入，得，
故直线方程为即．
综上所述，所求直线方程为或．
16.解：因为数列满足，
所以，
即的通项公式为；
记数列的前项和为，
因为，
所以，
所以，
两式相减得，
故，
即数列的前项和为．
17.证明：将圆的方程化成标准方程，得，
则圆心坐标为，半径．
将圆的方程化成标准方程，得，
则圆心坐标为，半径．
两圆心之间的距离，因此两圆内切如图．
为求公切线方程，需要求切点坐标．切点是两圆唯一的公共点，
其坐标即为方程组的解．
，得，
即
将代入，整理得．
解此方程，得唯一解，代入，得故切点坐标为．
切点到圆的圆心的方向向量为，并且与切线方向垂直，
故向量是切线的法向量，因此可设切线的一般式方程为．
将切点的坐标代入上述方程，解得．
因此，所求切线方程为．
18.解：Ⅰ由，，可得，解得，
当时，，
化为，
则数列为常数列，即有；
Ⅱ，
则
．
19.解：由题意得：为线段的中点，故圆的圆心坐标为，半径，
圆的方程为：，
因为圆关于圆关于直线对称，所以圆的圆心为，
所以圆的标准方程为：．
设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以，
若，则直线斜率不存在，则，，则，
若，则直线的方程为，即，则圆心到直线的距离，
所以，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
综上所述，因为，所以的最大值为；
设，，联立方程组得：，
消得，则，
直线的方程为，直线的方程为，联立解得，
则，
所以，所以点在定直线上．
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