辽宁省高二（上）2024-2025学年段考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年辽宁省高二（上）段考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法正确的是( )
A. 零向量没有方向
B. 在空间中，单位向量唯一
C. 若两个向量不相等，则它们的长度不相等
D. 若空间中的，，，四点不共面，则是空间的一组基底
2.已知直线的倾斜角为，则该直线的一个方向向量为( )
A. B. C. D.
3.如图所示，在三棱锥中，为的中点，设，则( )
A.
B.
C.
D.
4.已知两直线：，：，若，则与间的距离为( )
A. B. C. D.
5.已知直线：，：，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知平面的法向量，平面的法向量，若，则( )
A. B. C. D.
7.如图所示，正方体的棱长为，点，，分别为，，的中点，则( )
A. 直线与直线垂直
B. 直线与平面平行
C. 三棱锥的体积为
D. 直线与平面所成的角为
8.九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，在如图所示的鳖臑中，平面，，是的中点，是内的动点含边界，且平面，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：，则( )
A. 若，则直线的倾斜角为
B. 直线过定点
C. 若，则直线在轴和轴上的截距相等
D. 若直线不经过第二象限，则
10.如图，四边形为正方形，平面，，，为的中点，则( )
A. ，，，四点共面
B. 平面
C. 平面
D. 平面平面
11.在正方体中，为的中点，为正方体表面上的一个动点，则( )
A. 当点在线段上运动时，与所成角的最大值是
B. 若点在上底面上运动，且正方体棱长为，与所成角为，则点的轨迹长度是
C. 当点在面上运动时，四面体的体积为定值
D. 当点在棱上运动时，存在点使
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线：过点，则当取得最小值时，直线的方程为______．
13.如图，正三棱柱的各棱长均为，点为棱上的中点，点为棱上的动点，则在上的投影向量的模的取值范围为______．
14.已知正方体的体积为，且，则当取得最小值时，三棱锥的外接球体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线：与直线：的交点为．
求点关于直线的对称点；
求点到经过点的直线距离的最大值，并求距离最大时的直线的方程．
16.本小题分
如图，是半圆的直径，是的中点，，平面垂直于半圆所在的平面，．
若为的中点，证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
如图，在边长为的菱形中，，分别是边，的中点，，如图，将菱形沿对角线折起．
证明：；
当点折叠到使二面角为直二面角时，求点到平面的距离．
18.本小题分
如图，在斜四棱柱中，，．
证明：平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
定义：如果在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，那么称为，两点间的曼哈顿距离．
已知，两点的坐标分别为，，如果它们之间的曼哈顿距离不大于，求的取值范围；
已知，两点的坐标分别为，，如果它们之间的曼哈顿距离恒大于，求的取值范围；
若点在函数的图象上且，点的坐标为，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：已知直线：与直线：的交点为，
联立，
解得，
即，
又点关于直线的对称点，
设，
则，
解得，
即；
由知，
则点到经过点的直线距离的最大值为，当且仅当直线与直线垂直时取得最大值，
又，
即直线的斜率为，
即直线的方程为，
即．
16.证明：因为，分别是，的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
解：因为，是的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
所以，，
因为是的中点，所以，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以，
设直线与平面所成角为，
则，，
故直线与平面所成角的正弦值为．
17.解：证明：如图，取的中点，连接，，
结合折叠后线段长度不变得到，，
所以，，
又，，平面，
所以平面，平面，
所以，
又，分别是，的中点，
所以，
所以．
因为点折叠到使二面角为直二面角，
所以平面平面，
又因为平面平面，，平面，
所以平面，又平面，
所以，
结合知，，两两垂直，
故以为坐标原点，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，
令，，
所以，
又，
所以点到平面的距离为．
18.解：证明：因为，，
设，，
则，
，
，
所以，
又，
所以，
故A，
因为四棱柱且，
所以四边形为菱形，则，
又，，平面，
所以平面；
过点，作，，连接，
设，因为平面，平面，
所以，又因为，且，
故A底面，
又因为，，，
所以平面，平面，
所以，
在中，，
在中，，
在中，，
以过点且与平行的直线为轴，，所在的直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
平面的法向量为，
，
设平面与平面的夹角为，
则，
平面与平面夹角的余弦值为．
19.解：因为，，故，
由曼哈顿距离不大于，得，
解得．
综上，的取值范围是．
因为，，
故，
由题意可得恒成立，
因为，
当且仅当时等号成立，即的最小值为，
所以，则或，解得或．
故的取值范围是．
点在函数图象上且，点的坐标为，
故
当时，，函数在上单调递增，
故，
当且仅当时取等号．
当时，．
令，由于，故．
当时，，
函数在上单调递减，故，
当且仅当时取等号．
综上可知，的最小值为．
第1页，共1页