河北省郑口中学、鸡泽一中高二（上）2024-2025学年月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年河北省郑口中学、鸡泽一中高二（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设直线的倾斜角为，则( )
A. B. C. D.
2.已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知直线：与：平行，且过点，则( )
A. B. C. D.
4.如图，在正三棱锥中，点为的重心，点是线段上的一点，且，记，则( )
A.
B.
C.
D.
5.已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为( )
A. B. C. D.
6.如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，则点到直线的距离为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知实数，满足，且，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8.在正三棱锥中，，点满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知空间向量，且，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
10.已知直线：和直线：，下列说法正确的是( )
A. 始终过定点 B. 若，则或
C. 若，则或 D. 当时，始终不过第三象限
11.如图，在棱长为的正方体中，点，是底面内的一点包括边界，且，则下列说法正确的是( )
A. 点的轨迹长度为
B. 点到平面的距离是定值
C. 直线与平面所成角的正切值的最大值为
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知过点的直线在轴上的截距是其在轴上截距的倍，则满足条件的一条直线的方程为_____．
13.已知向量，若共面，则 ______．
14.如图，在正三棱柱中，，，为棱上的动点包括端点，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的顶点坐标为，，．
若点是边上的中点，求直线的方程；
求边上的高所在的直线方程．
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，点，分别为棱，的中点．
求证：平面；
求直线与直线的夹角的余弦值．
17.本小题分
如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，点是棱上的一点，且．
求证：四边形为正方形；
求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知直线：过定点．
求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程；
若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，的面积为为坐标原点，求的最小值并求此时直线的方程．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连接．
求证：平面；
求二面角的正弦值；
在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：因为点是边上的中点，，，
则，
又，
所以，
所以直线的方程为，即；
因为，
所以边上的高所在的直线的斜率为，
所以边上的高所在的直线方程为，即．
16.证明：因是直三棱柱，则，，
又因点，分别为棱，的中点，所以，，
则四边形是平行四边形，所以，
又因平面，平面，
故AF平面；
解：如图，
因直三棱柱中，故可以为原点，
以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
不妨设，则，，，
于是，
，，，
所以，，
设直线与直线的夹角为，，
则，．
故直线与直线的夹角的余弦值为．
17.证明：如图，连接，在直四棱柱中，
平面，平面，所以，
又，，，平面，
所以平面，又平面，
所以，又四边形是矩形，
所以四边形为正方形；
解：以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则由，，可得，令，可得，
故平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角的大小为，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：直线：，则直线过定点，
当，时，设的方程为，
点在直线上，
所以，
若，则，
所以直线的方程为，
若，则，，
所以直线的方程为；
当时，直线过原点，且过点，
所以直线的方程为，
综上所述，所求直线的方程为或或；
令，则，
令，则，
直线交轴的正半轴于点，交轴的负半轴于点，，
为坐标原点，设的面积为，
则，
当且仅当时，即时取等号，
故的最小值为，此时，
直线：．
19.证明：因为，
所以，四边形为矩形，
在中，，，，
则
，
，
且平面平面，平面，
平面平面，
平面；
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
，，可得，
则，，，，，
设平面的法向量为，，，
由，得．
设平面的法向量为，，
由，得，
．
二面角是钝角，
二面角的正弦值为．
设，
则
，
又平面的法向量为，
直线与平面所成的角的正弦值为，
解得，
．
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